J Пример 4.1

1. .

2. .

3. , , . J

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме:

(4.2)

Законы умножения:

a) Коммутативный: , ,

b) Ассоциативный: , ,

c) Дистрибутивный: , ,

d) для ,

e) Для, где .

Число z в (e) называется частным комплексных чисел z ₁ и z ₂, обозначается . Деление на 0 невозможно.

Все свойства следуют из определений операций сложения и умножения и равенства комплексных чисел. Докажем (e).

♦ Пусть , , , .

.

то есть . ■

☼ Замечание 4.1. Как уже было отмечено (см. Рис. 4.1), в векторной интерпретации сложение и вычитание комплексных чисел производится по правилам сложения и вычитания векторов. Однако умножение и деление комплексных чисел, совершаемые необходимо по формулам (4.1) и (4.2), не имеют непосредственных аналогов в векторной алгебре.

Векторная интерпретация комплексного числа непосредственно применяется, например, в электротехнике для изображения переменных синусоидальных токов и напряжений. ☼

4.3. Сопряжённые комплексные числа.

Определение 4.2. Пусть . Число называется комплексно сопряжённым числом с числом и обозначается , .

Заметим, что

;

;

, .

Следовательно, полученное соотношение сводит деление комплексного числа z ₁ на z ₂ к умножению числителя и знаменателя на .

J Пример 4.2. . J

♦ Теорема 4.1. .

Доказательство. .

■

♦ Теорема 4.2. .

Дата добавления: 2014-01-05