Извлечение корня

Число называется корнем степени n (, ) из комплексного числа z, если . Таким образом, для нахождения всех корней степени n из числа z нужно найти все решения уравнения .

Если , то – единственное решение. Если , то, записав числа и z в тригонометрической форме:

,

и применив формулу Муавра, получим уравнение в виде

.

Два комплексных числа равны, если равны их модули, а аргументы отличаются на . Следовательно, , .

.

J Пример 4.4.

,

,

. J

☼ Упражнение. Найти значения выражений:

1) , 2) , 3) .

4) Решите уравнение . ☼

Отметим ещё одно интересное равенство, связывающее показательную и тригонометрическую функции. Формула Эйлера:

.

При получается, по словам Ф. Клейна, «самая удивительная формула во всей математике»: . Рассмотрим ещё одну формулу: .

☼ Упражнение. Найти , , . ☼

J Пример 4.5. Найдём , . Таким образом, получилось, что – период функции . Показательная функция с комплексным аргументом – периодическая.

Выразим тригонометрические функции через показательные: J

Формула Эйлера преобразует тригонометрическую форму комплексного числа в показательную форму . Показательная форма также очень удобна для выполнения операций умножения и деления комплексных чисел: и .

☼ Историческая справка. Впервые мнимые величины появились в труде Дж. Кардано (G. Cardano, 1545) «Великое искусство, или об алгебраических правилах». Пользу мнимых величин при решении кубического уравнения в неприводимом случае (когда действительные корнивыражаются через кубические корни из мнимых величин) оценил Р. Бомбелли (R. Bombelli, 1572).

Он же дал простейшие правила действий с комплексными числами. В 16-17 веках выражения вида , , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми». Для многих (в т.ч. и крупных) учёных 17 века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной и даже загадочной и мистической. Например, И. Ньютон (I. Newton) не включал мнимые величины в понятие числа, а Г. Лейбницу (G. Leibniz) принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа». Символ предложил Л. Эйлер (L. Euler, 1777). Арифметическая теория комплексных чисел как пар действительных чисел была построена У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1837). Ему же принадлежит важное пространственное обобщение комплексных чисел – кватернионы, алгебра которых некоммутативна. В конце 19 века было доказано, что всякое расширение понятия числа за пределы поля комплексных чисел возможно только при отказе от каких-либо обычных действий (прежде всего, коммутативности). ☼

Дата добавления: 2014-01-05