Векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 4

Результатом перемножения двух векторов может быть не только скаляр, но и вектор, который может умножаться на третий вектор.

Векторное произведение. Понятие векторного произведения, о котором пойдет речь в этом пункте, является объектом изучения теории трехмерного евклидова пространства. В евклидовом пространстве, число измерений которого отлично от трех, не имеется аналогий этого понятия.

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой – вторым и какой – третьим. При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования (если для нас будет небезразличен порядок набора). Так, запись , , означает, что первым элементом тройки является вектор , вторым – вектор и третьим – вектор .

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного приведенными к общему началу векторами , , , мы видим кратчайший поворот от к и от него к совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Удобное практическое правило определения правой тройки: упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , является правой, если после приведения к общему началу векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом (или ) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

1) длина вектора равна , где – угол между векторами и ;

2) вектор ортогонален плоскости векторов и (, );

3) векторы , , образуют правую тройку векторов.

Требования 1 и 2 определяют вектор с точностью до двух взаимно противоположных направлений; требование 3 отбирает одно из этих двух направлений. В случае, когда и коллинеарные, тройка , , является компланарной, но в этом случае уже из требования 1 следует, что .

Рис. 4.1.

Понятие векторного произведения (так же, как и скалярное произведение) родилось в механике. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке силу, а вектор идет из некоторой точки в точку , то вектор представляет собой момент силы относительно точки .

Свойства векторного произведения

1. векторы и – коллинеарны.

2. (антикоммутативность).

3. , (однородность).

4. ,

(дистрибутивность).

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Найдем векторные произведения базисных ортов , , . Результаты можно записать в следующую таблицу:

Таблица 4.1

Пользуясь этой таблицей и свойствами векторного произведения, найдем формулу для выражения векторного произведения через декартовы координаты сомножителей:

Пример 4.1. Найти векторное произведение векторов и .

= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)

Решение.

.

Пример 4.2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение.

(ед²).

Пример 4.3. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).

Решение.

Находим координаты векторов :

Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , поэтому находим векторное произведение этих векторов:

(ед²).

Дата добавления: 2014-01-05