С положительными членами

Признаки сравнения числовых рядов

Установим признаки сходимости данного ряда путем сравнения его с другим, вспомогательным, рядом, сходимость которого известна.

Рассмотрим два ряда:

(5)

(6)

Теорема. (Первый признак сравнения)

Пусть члены знакоположительных рядов (5) и (6) удовлетворяют неравенству

(7)

Тогда: а) Если ряд (6) сходится, то ряд (5) – сходится;

б) Если ряд (5) расходится, то ряд (6) – расходится.

В качестве вспомогательных рядов рассматриваются ряды, сходимость которых известна. Например,

− геометрическая прогрессия;

− ряды Дирихле.

Примеры.

1. Исследуем сходимость ряда .

Так как

а ряд - сходится, то

исследуемый ряд сходится.

2. Исследуем сходимость ряда .

Так как , то

Гармонический ряд - расходится. Следовательно, ряд - расходится.

Теорема. (Второй признак сравнения)

Пусть члены знакоположительных рядов (5) и (6) таковы, что

(8)

то ряды (5) и (6) сходятся и расходятся одновременно.

Замечание. Ряды (5), (6), сходящиеся или расходящиеся одновременно, называются эквивалентными с точки зрения сходимости.

Примеры.

1. Исследуем сходимость ряда .

Общий член ряда: .

Так как при больших n

то в качестве вспомогательного ряда возьмем гармонический ряд: .

.

Следовательно, ряд расходится, так как расходится гармонический ряд.

2. Исследуем сходимость ряда .

.

Так как при больших n

то в качестве вспомогательного ряда возьмем сходящийся ряд Дирихле с : ,

.

Следовательно, ряд сходится.

Дата добавления: 2014-01-05