Постановка задачи. Численная интерполяция

Численная интерполяция

Пусть в точках x₀, x₁,..., x_n таких, что a £ x₀ < … < x_n £ b, известны значения функции у = f(x), т.е. на отрезке [а, b] задана табличная (сеточная) функция

x	x0	x1	…	xn	(1)
y	y0	y1	…	yn

Функция φ(x) называется интерполирующей или интерполяционной для f(x) на [а, b], если ее значения j(x₀), φ(x₁), …, φ(x_n) в заданных точках х₀, х₁,..., x_n, называемых узлами интерполяции, совпадают с заданными значениями функции f(x), т. е. с у₀, у₁,..., у_n соответственно. Геометрически факт интерполирования означает, что график функции j(x) проходит так, что, по меньшей мере, в n + 1 заданных точках он пересекает или касается графика функции f(x) (Рис. 1).

Рис. 1. Геометрическая интерпретация задачи интерполирования

Легко представить, что таких графиков φ(x), проходящих через заданные точки, можно изобразить сколько угодно, и они могут отличаться от графика f(x) сколь угодно сильно, если не накладывать на φ(x) и f(x) определенных ограничений.

В соответствии с договоренностью предыдущего параграфа будем считать, что интерполяционная функция φ(x) есть многочлен степени n. Тогда задача интерполяции, точнее, полиномиальной, алгебраической или параболической интерполяции (поскольку график любого многочлена называют параболой) формулируется так: для функции f(x), заданной таблицей (1), найти многочлен Р_n(x) такой, что выполняется совокупность условий интерполяции

P_n(x_i) = y_i "i Î {0, 1, …, n} (2)

Найти многочлен P_n(x) — это значит, учитывая его каноническую форму

Р_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +... + a_nxⁿ, (3)

найти его n + 1 коэффициент a₀, a₁, …, a_n. Для этого имеется как раз n + 1 условие (2). Таким образом, чтобы многочлен (3) был интерполяционным для функции (1), нужно, чтобы его коэффициенты a₀, a₁, …, a_n удовлетворяли системе уравнений

Из курса алгебры известно, что определитель этой линейной системы (так называемый определитель Вандермонда) отличен от нуля, т. е. решение этой системы существует и единственно. Однако практическое построение интерполяционного многочлена таким путем малоэффективно. Поэтому изберем другой путь.

Дата добавления: 2014-01-05