Гипербола

Эллипс

Эллипсом называется линия, заданная уравнением .

Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Рис. 7.1

- фокусы; - половина расстояния между фокусами; - большая полуось; – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

.

Доказательство: В том случае, если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (по теореме Пифагора). В случае если точка находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, . Т.к. по определению сумма – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

.

Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

.

Т.к. , то .

Величина называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: .

Если (, , фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки , принадлежащей эллипсу верны соотношения:

, .

Доказательство. Выше было показано, что . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что . Теорема доказана.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

; .

Теорема. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету .

Пример 7.2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

Решение.

1) Координаты нижней вершины: ; ; .

2) Координаты левого фокуса: ; ; .

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример 7.3. Составить уравнение эллипса, если его фокусы , , большая ось равна 2.

Решение.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами: , таким образом, . По условию , следовательно ,

Итого: .

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Рис. 7.2.

По определению . – фокусы гиперболы. .

Выберем на гиперболе произвольную точку . Тогда:

,

Обозначим (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось называется действительной осью гиперболы.

Ось называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где – половина расстояния между фокусами, – действительная полуось.

С учетом того, что :

Если , , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если – расстояние от произвольной точки гиперболы до какого-либо фокуса, – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

Рис. 7.3.

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

, следовательно .

Из канонического уравнения: , с учетом :

Тогда т.к. , то .

Итого: .

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

Пример 7.4. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Решение.

Для эллипса: .

Для гиперболы: .

Рис. 7.4.

Уравнение гиперболы: .

Пример 7.5. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Решение.

Находим фокусное расстояние .

Для гиперболы: , ; ; ; ; .

Итого: – искомое уравнение гиперболы.

Дата добавления: 2014-01-05