Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение 8.7. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) вещественного числа А найдётся номер такой, что при всех элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

☼ Замечание 8.1. Если последовательность бесконечно большая, то она неограниченная. Но не следует думать, что любая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, последовательность не ограничена, но не является бесконечно большой, т.к. условие не выполняется при всех чётных n. ☼

J Пример 8.1. Докажем, что последовательность является бесконечно большой. Возьмем любое число А >0. Из неравенства получаем n > A. Если взять , то для всех n > N будет выполняться неравенство , то есть согласно определению 8.7, последовательность бесконечно большая. J

Определение 8.8. Последовательность называется бесконечно малой, если для (сколь угодно малого ) найдётся номер такой, что при всех элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .

J Пример 8.2. Докажем, что последовательность бесконечно малая.

Возьмём любое число . Из неравенства получаем . Если взять , то для всех n > N будет выполняться неравенство . J

♦ Утверждение 8.2. Последовательность является бесконечно большой при и бесконечно малой при .

Дата добавления: 2014-01-05