Формирование уравнений переменных состояния на основании передаточной функции цепи: метод Бека

Как уже было сказано, передаточную функцию можно определить экспериментально. Кроме того, исходя из этой функции, можно построить математическую модель цепи. Итак пусть дана передаточная функция , имеющая следующий вид:

,

которая задана своими полиномами числителя и знаменателя, причем . Наша задача – сформировать по этой функции уравнения переменных состояния. Введем функцию следующим образом:

, .

Основной смысл вводимого определения состоит в следующем ее свойстве:

,

причем , поскольку порядок системы . Очевидно, что

, .

Выражение для запишем в виде суммы двух слагаемых: первое слагаемое соответствует , второе – всей оставшейся сумме:

.

Поскольку ,

.

Теперь формируем уравнения по МПС! Отметим следующие свойства слагаемых из суммы . В первой системе записаны свойства, о которых говорилось выше. Вторая система записана получена из первой следующим путем. Передаточная функция определена при нулевых начальных условиях. Тогда выполнив обратное преобразование Лапласа для каждого из уравнений первой системы, получим:

.

Подобным образом переводим уравнение в область времен:

.

Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений первой степени вида:

,

.

Это не единственный метод формирования уравнений по передаточной функции цепи: существует т.н. метод Джонсона и др. Полученная нами выше форма уравнений переменных состояния называется канонической формой фазовой переменной. Этот метод широко используется в современной теории автоматического управления.

Дата добавления: 2014-01-05