Статистические распределения

Изучение случайных явлений показывает, что многие случайные величины имеют плотность распределения вероятности, выраженную формулой:

(3.14)

где - среднее значение случайной величины Х, - среднее квадратичное отклонение.

Распределение, описываемое формулой (3.14) для множества значений случайной величины Х, называется распределением Гаусса или нормальным распределением в дифференциальной форме. Дифференциальное распределение Гаусса при различных среднеквадратичных отклонениях приведено на рис.3.4. Если максимум f(x) приходится на х=0, то распределение называется центрированным. Для распределения Гаусса характерно следующее: во-первых, симметрия относительно среднего значения случайной величины, во-вторых, вероятность нахождения случайной величины в интервале от до равна 0,68. Это означает, что площадь криволинейной трапеции в указанном интервале, составляет 68% от всей площади. Примерами распределения Гаусса являются: распределение частиц крупы по вертикальным ячейкам доски Гальтона, распределение молекул идеального газа по компонентам скоростей, распределение частиц по потенциальным энергиям в поле силы тяжести, распределение атмосферного давления по высоте при неизменной температуре.

Интегральное распределение Гаусса для центрированного распределения имеет вид, представленный на рис. 3.5.

В ряде случаев используют закон равномерного распределения вероятностей. Плотность вероятности в этом случае задаётся так: f(x)=0 при x< a; f(x)=c при a <x< b; f(x)=0 при x> b.

Вид равномерного распределения приведён на рисунках 3.6 и 3.7.

Достаточно часто используется распределение Гаусса. В силу важности данного распределения в курсе молекулярной физики рассмотрим более подробно его применение на примере вывода барометрической формулы и распределения Больцмана.

Дата добавления: 2014-01-05