Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли

Уравнение неразрывности.

Идеальная жидкость - это абстрактная жидкость, не обладающая вязкостью, теплопроводностью, способностью к электризации и намагничиванию.

Такое приближение допустимо для маловязкой жидкости. Течение жидкости называется стационарным, если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным.

Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока.

Линии тока жидкости - это линии, в каждой точке которых вектор скорости частиц жидкости направлен по касательной (рис. 4).

Линии тока проводят так, чтобы число линий, проведенных через некоторую единичную площадку, перпендикулярную потоку, было численно равно или пропорционально скорости жидкости в данном месте.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока.

Т.к. скорость частиц жидкости направлена по касательной к стенкам трубки тока, частицы жидкости не выходят из трубки тока, т.е. трубка может рассматриваться как жесткая конструкция. Трубки тока могут сужаться или расширяться в зависимости от скорости жидкости, хотя масса жидкости, протекающей через любое сечение, перпендикулярное ее течению, за определенный промежуток времени будет постоянной.

Т.к. жидкость несжимаема, через S₁ и S₂ пройдет за Dt одинаковая масса жидкости (рис. 5):

- уравнение неразрывности струи или теорема Эйлера.

Произведение скорости течения несжимаемой жидкости и площади поперечного сечения одной и той же трубки тока постоянно.

Теорема о неразрывности широко применяется при расчетах, связанных с подачей жидкого топлива в двигатели по трубам переменного сечения.

Уравнение Бернулли.

Пусть жидкость движется в поле сил тяжести так, что в данной точке пространства величина и направление скорости жидкости остаются постоянными. Такое течение называется стационарным. В стационарно текущей жидкости кроме сил тяжести действуют еще и силы давления. Выделим в стационарном потоке участок трубки тока, ограниченный сечениями S₁ и S₂ (рис.6)

За время Dt этот объем переместится вдоль трубки тока, причем сечение S₁ переместится в положение 1', пройдя путь , а S₂ - в положение 2', пройдя путь . В силу неразрывности струи выделенные объемы (и их массы) одинаковы:

, .

Энергия каждой частицы жидкости слагается из ее кинетической и потенциальной энергий в поле сил земного тяготения. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся через Dt в любой из точек незаштрихованной части рассматриваемого объема, имеет такую же скорость, и, следовательно W_к, какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому изменение энергии всего рассматриваемого объема можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемов V₁ и V₂.

Возьмем сечение трубки тока и отрезки настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было приписать одно и то же значение скорости, давления и высоты. Тогда приращение энергии равно

В идеальной жидкости трение отсутствует, поэтому DW должно равняться работе, совершенной над выделенным объемом силами давления:

(отрицательна, т.к. направлена в сторону, противоположную перемещению ).

, ,

,

,

.

Сократим на V и перегруппируем члены:

.

Сечения S₁ и S₂ были выбраны произвольно, поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока

. (1)

Выражение (1) представляет собой уравнение Бернулли. В стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие (1).

Для горизонтальной линии тока , .

Уравнение Бернулли достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не очень велико. Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу устройства водоструйного насоса.

Выводы этого уравнения учитываются при расчетах конструкций насосов систем подачи жидкого топлива в двигатели.

Дата добавления: 2014-01-05