Условия единственности решения уравнений электродинамики

Тема 5.

1. Вводные замечания

Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие уравнения допускают множество решений. Однако из общих физических представлений очевидно, что при полном повторении условий эксперимента распределение поля должно быть одинаковым. Следовательно, в каждом конкретном случае электромагнитное поле должно удовлетворять не только уравнениям Максвелла, но и некоторым дополнительным условиям. Эти дополнительные условия определяются специальными теоремами, называемыми теоремами единственности решения задач электродинамики. Рассмотрим доказательство теорем для краевых задач в случае монохроматического поля, и считаем, что в рассматриваемой части пространства происходит поглощение энергии, т.е. что .

2. Единственность решения внутренних задач электродинамики

Покажем, что внутренняя задача электродинамики имеет единственное решение, если на граничной поверхности (см. рис8) выполняется одно из следующих четырех условий:

а) в каждой точке М поверхности задана проекция вектора на плоскость , касательную к в точке (Е-задача):

(1)

б) в каждой точке поверхности задана проекция вектора на плоскость (-задача):

(2)

в) на одной части поверхности (обозначим ее ) задана проекция вектора , а на другой части () - проекция вектора на плоскость , причем (-задача):

при и при (3)

в каждой точке поверхности проекции векторов и на плоскость связаны соотношением

(4)

причем

(5)

Условие (4) называют импедансным краевым условием. Очевидно, что векторы Ё_т и Н_т., образующиеся при проецировании и на плоскость , имеют различное направление: , где и -единичные векторы, лежащие в плоскости .

В формулах (1)-(5) через и обозначены известные (заданные) функции точки .

Предположим, что существуют два различных решения поставленной задачи и и рассмотрим их разность:

, (6)

Векторы и удовлетворяют уравнениям Максвелла

(7)

(8)

(и -комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно)

и одинаковым краевым условиям на поверхности S. Уравнения Максвелла для поля получаются почленным вычитанием уравнения (8) из (7). При этом векторы сокращаются, и уравнения Максвелла для поля Ё₃, Н₃ принимают вид

(9)

На поверхности поле должно удовлетворять следующим краевым условиям: в случае -задачи

; (10)

в случае -задачи

(11)

в случае -задачи

(12)

;

в случае импедансного краевого условия (4)

(13)

Составим уравнение баланса для средней за период мощности разностного поля . Так как векторы удовлетворяют уравнениям Максвелла (9), то мощность сторонних источников разностного поля равна нулю, тогда

(14)

Так как , где -орт внешней нормали к поверхности , то произведение определяется только касательными составляющими векторов и . В случае выполнения условий (2.10)-(2.12) произведение на поверхности обращается в нуль. При этом из (2.14) следует, что

(15)

Предположим вначале, что потери энергии в объеме обусловлены только наличием проводимости (), т.е. что , а . В этом случае уравнение (15) принимает вид

(16)

Так как , а , то из равенства (16) следует, что . Используя второе уравнение Максвелла, записанное относительно векторов и , получаем =0. Следовательно, , и , т.е. задача имеет единственное решение.

Рассмотрим теперь краевое условие (4).

В этом случае подынтегральное выражение во втором слагаемом в уравнении (14) может быть преобразовано следующим образом:

При этом из (14) получаем соотношение

(17)

Так как , и, кроме того, выполняется условие (5), то равенство (17) возможно только при . Таким образом, и в этом случае задача имеет единственное решение.

Единственность решения в более общем случае, когда и , доказывается аналогично на основе анализа уравнения (14).

3. Единственность решения внешних задач электродинамики

В случае внешней задачи электродинамики поверхность S не охватывает рассматриваемую часть пространства, простирающуюся до бесконечности. Поэтому для единственности решения кроме одного из условий (1)—(4) требуется задать дополнительное условие, характеризующее поведение векторов и в точках, бесконечно удаленных от поверхности . Выясним, каким должно быть это дополнительное условие.

Пусть на выполняется одно из условий (1)-(4). Предположим, что имеется два решения задачи , , и , , и введем в рассмотрение разностное поле , по формулам (2.6). Как и в случае внутренней задачи электродинамики, векторы и удовлетворяют уравнениям Максвелла (9) и одному из условий (10)—(13) на поверхности . Из произвольной точки 0 внутри области мысленно проведем сферу радиуса так, чтобы вся область и все сторонние источники оказались внутри этой сферы. Объем, заключенный между поверхностями и , обозначим через (рис.8). Составим уравнение баланса для средних за период значений мощности поля , в объеме :

(18)

Перейдем в уравнении (18) к пределу при . Тогда область распространится на все пространство, внешнее по отношению к области . Если в пределе третье слагаемое в левой части уравнения (18) окажется равным нулю, то получающееся при этом соотношение

(19)

не будет иметь принципиальных отличий от аналогичного уравнения (14) для внутренней задачи электродинамики, и, следовательно, рассматриваемая задача также будет иметь единственное решение. Действительно, при выполнении условий (1)—(3), второе слагаемое в левой части (19) обращается в нуль, и это уравнение принимает вид

(20)

В частном случае, когда потери в среде обусловлены только наличием проводимости, т.е. когда и , уравнение (20) записывается в форме

(21)

Так как и , то из (21) получаем , а из второго уравнения Максвелла - . Следовательно, и

Если на поверхности выполняется условие (4), то из уравнений (19) и (13) имеем

,

откуда также следует единственность решения.

Найдем условие, при котором

(22)

и, следовательно, проведенное выше доказательство справедливо. При поверхность возрастает пропорционально . Поэтому для выполнения условия (22) необходимо, чтобы абсолютная величина произведения при убывала быстрее . Для этого достаточно потребовать, чтобы искомые векторы и убывали быстрее, чем .

Таким образом, внешняя задача электродинамики имеет единственное решение, если на поверхности , ограничивающей объем , выполняется одно из условий (1)-(4) и, кроме того, при векторы и убывают быстрее, чем . Последнее всегда имеет место, так как в любых реальных средах имеются потери энергии.

Отметим, что теорему единственности для внешней задачи электродинамики можно доказать и в случае среды без потерь, если вместо условия убывания векторов и при быстрее потребовать выполнения следующих соотношений:

Предельные соотношения (23) называются условиями излучения. Они были сформулированы Зоммерфельдом. Физически эти условия эквивалентны требованию, чтобы при поле имело характер поперечных волн, распространяющихся вдоль направления (предполагается, что источники поля находятся на конечном расстоянии от поверхности ). Из приведенного выше доказательства единственности решения краевых задач электродинамики следует, что при отсутствии потерь энергии в области решение внутренней задачи может быть неединственным. Физически это означает, что в такой системе помимо полей, созданных непрерывно действующими сторонними источниками, могут существовать незатухающие поля, созданные когда-то действовавшими сторонними источниками (но в рассматриваемое время переставшими действовать). Эти поля из-за отсутствия потерь в среде могут существовать сколь угодно долго (например, собственные колебания идеального объемного резонатора).

Дата добавления: 2014-01-05