Основные свойства параллельного проецирования

Проекции геометрических элементов на плоскости могут искажаться в отношении их формы и размеров. Однако, некоторые их свойства остаются неизменными (инвариантными) и при проецировании.

1. Проекция точки есть точка.

Это очевидно из самого определения проекции, как точки пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

Следует помнить, что любой точки пространства соответствует только одна проекция на плоскости. Обратная формулировка этого свойства неверна, т.к. каждой проекции точки может соответствовать бесчисленное множество точек в пространстве. Это значит, что одна проекция точки не определяет ее положение в пространстве.

2. Проекцией прямой в общем случае является прямая.

Все проецирующие лучи, проходящие через прямую, заданную отрезком АВ, образуют проецирующую плоскость АВВ¢А¢, которая пересекает плоскость проекций P₁ по прямой (А₁ - В₁). Исходя из этого справедливо и следующее утверждение.

3. Если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки лежит на проекции этой прямой.

M Î [KL] Þ M₁ Î K₁L₁

4. Если точка, лежащая на прямой, делит ее на отрезки в каком-либо отношении, то проекция этой точки поделит проекцию этой прямой в том же отношении.

Рис. 1.3

5. Если прямые пересекаются, то их проекции тоже пересекаются. Причем проекция точки пересечения прямых является точкой пересечения проекций.

Рис. 1.4

Точка N одновременно принадлежит прямым (A-B) и (C-D). По шестому инвариантному свойству проекция этой точки должна принадлежать проекциям этих прямых, т.е. быть точкой пересечения проекций.

6. Проекции параллельных прямых параллельны между собой.

Рис. 1.5

Плоскости, проходящие через две параллельные прямые, параллельны, т.к. две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости.

[EF] çç [GH], EE₁ çç GG₁ Þ Q(EFÇEE₁) çç S(GHÇGG₁)

Параллельные плоскости пересекаются с третьей по параллельным прямым, следовательно, E₁F₁ çç G₁H₁.

Дата добавления: 2014-01-05