Характеристика реакции линейной системы на показательное воздействие

В качестве элементарных воздействий могут быть использованы не только импульсные или ступенчатые воздействия, но и другие, более сложные сигналы, такие, как гармонические. Мы рассмотрим в этом качестве показательное воздействие. Оно объединяет в себе воздействия затухающие и гармонические.

Пусть , где s - некий комплексный параметр.

Такое воздействие обобщает все остальные воздействия (почему?).

Назовем характеристикой реакции линейной системы на показательное воздействие величину:

, где- реакция линейной системы на показательное воздействие, а - само показательное воздействие.

показывает, как меняются модуль и фаза входного воздействия при его прохождении через линейную систему.

Если s - чисто мнимая величина, то задает частотную характеристику:

Задача: показать, как меняется амплитуда и фаза входного воздействия (гармонического) при прохождении через систему с заданной частотной характеристикой.

- задает амплитудно-частотную характеристику (АЧХ);

- задает фазовую частотную характеристику (ФЧХ).

Рассмотрим функцию u(t), ее интеграл Фурье имеет вид:

, где .

Найдем реакцию линейной системы на воздействие u(t).

Из этого результата следует, что реакция линейной системы может быть определена через реакцию на показательное воздействие, но это, к сожалению, требует дополнительных преобразований связанных с расчетом коэффициентов . Только для импульсного воздействия эту работу делать не нужно.

Связь частотной характеристики и весовой функции

Для установления этой связи определим реакцию линейной системы на показательное воздействие при помощи весовой функции:

.

Тогда

При :

Известный факт:

Это соотношение показывает, что импульсное воздействие содержит в себе гармонические колебания всех частот с одинаковыми коэффициентами. Тогда

Дата добавления: 2014-01-05