Найдем частную производную функции по переменной у, а переменную х в этом случае будем считать постоянной:

Полный дифференциал функции. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки М(x,y). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке М(x,y), если ее полное приращение можно представить в виде , где и при , . Сумма первых двух слагаемых представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращения функции z=f(x,y), линейная относительно и , называется полным дифференциалом функции и обозначается dz: .

Для независимых переменных x и y полагают , . Выражения и называют частными дифференциалами функции.

Теорема ( достаточное условие дифференцируемости ): Если функция z=f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки М(x,y) непрерывные частные производные и , то она дифференцируема в этой точке, причем ее полный дифференциал выражается формулой . (6)

Пример 7. Найти полный дифференциал функции . Решение: Найдем частные производные функции, .

Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям

-Формула используется в вычислениях приближенного значения функции.

Пример. Дана функция и две точки А (2;1) и В (1,96;1,04). Требуется:

1) вычислить значение функции z ₁ в точке В;

2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из ее значения z ₀ в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом ;

Решение:

1). Найдем значение функции z ₁ в точке В: .

2). Найдем значение z ₀ в точке А:.

Для вычисления дифференциала функции в точке А найдем частные производные функции в этой точке:

, , , ,

, .

Тогда, с учетом формулы (6), получим:.

Вычислим приближенное значение функции в точке В по формуле , =11+0,16=11,16

Производная сложной функции

Пусть - функция двух переменных u и v, а каждая из них, в свою очередь, есть функция независимых переменных х и у, тогда и функция z является функцией независимых переменных х и у, а ее частные производные по этим переменным вычисляются по формулам:, и

Дата добавления: 2014-01-05