Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности

Уравнение нестационарного температурного поля

Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности

Дифференциальные уравнения теплопроводности

При и из уравнения следует уравнение стационарной теплопроводности в неподвижной среде (1):

. (1)

При постоянном коэффициенте теплопроводности () и отсутствии внутреннего источника тепла () уравнение температурного поля максимально упрощается и сводится к условию равенства нулю лапласиана температуры:

,

т.е. в прямоугольных координатах (2):

, (2)

в цилиндрических координатах (3):

, (3)

в сферических координатах (4):

. (4)

В случае изотропного тела с коэффициентом теплопроводности, являющимся функцией только температуры, целесообразно ввести функцию (5):

, (5)

где

Дифференцируя функцию по координатам, получаем (6):

; (6)

. (7)

Теперь уравнение теплопроводности (1) можно переписать в виде (8):

, (8)

и при имеем (9):

. (9)

Тепловой поток через заданную поверхность определяется формулой (10):

, (10)

или в соответствии с (6) получаем (11):

. (11)

У геометрически подобных тел с аналогично заданными граничными условиями функции (12):

(12)

должны иметь одно и то же значение. Следовательно, стационарный тепловой поток через твердое тело, коэффициент теплопроводности которого является функцией температуры, определяется в общем виде формулой (13):

. (13)

Здесь и - значения функций в характерных местах тела (например, на внутреннем и внешнем изотермических контурах). Величина в этой формуле характеризует геометрические свойства тела и называется формфактором.

При из (13) следует, что (14):

. (14)

Как видно, величина форм-фактора обратно пропорциональна термическому сопротивлению тела при постоянном коэффициенте теплопроводности .

Разность значений функций и может быть определена так (15):

; . (15)

Здесь

. (16)

Таким образом, тепловой поток в изотропных телах с коэффициентом теплопроводности, являющимся функцией температуры, может вычисляться по формулам, выведенным для случая , при подстановке в эти формулы среднего коэффициента теплопроводности, определенного по формуле (16). Если поверхности, ограждающие данное тело, изотермические, то граничные условия к уравнениям (1) и (8) всегда подобны. Действительно, в этом случае на контурах системы соответственно заданы условия:

, , ,

При , и, следовательно, в геометрически подобных телах с подобно заданными граничными условиями поле температур для тела с подобно полю функции для тела с .

Обычно с достаточной для большинства практически важных задач точностью можно считать коэффициент теплопроводности или постоянным, равным его среднему значению в данном интервале температур, или линейно меняющимся с температурой (17):

. (17)

В последнем случае (18)

(18)

и поле температур связано с полем функции (т.е. с полем температур для тела той же конфигурации и ) формулой (19):

. (19)

Дата добавления: 2014-01-05