Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2n и обратно

Перевод произвольных чисел

Перевод произвольных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример 13. Перевести число 17,25₁₀ в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть:	Переводим дробную часть:
17 8 4 2 1 0 1 0 0 0 1	0, 25 ×2 0 50 ×2 1 00

Получаем: 17,25₁₀=10001,01₂

Пример 14. Перевести число 124,25₁₀ в восьмеричную систему.

Переводим целую часть:	Переводим дробную часть:
124 15 1 0 4 7 1	0, 25 ×8 2 00

Получаем: 124,25₁₀=174,2₈

Перевод целых чисел. Если основание q-ичной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ичной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ, нужно:

1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

Пример 15. Число 101100001000110010₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062₈.

Пример 16. Число 1000000000111110000111₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

			F

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F87₁₆.

Перевод дробных чисел. Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ, нужно:

1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

Пример 17. Число 0,10110001₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

0,
0,

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,542₈.

Пример 18. Число 0,100000000011₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

0,
0,

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,803₁₆

Перевод произвольных чисел. Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ, нужно:

1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную — слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов;

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ

Пример 19. Число 111100101,0111₂ переведем в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

		101,
		5,

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34₈.

Пример 20. Число 11101001000,11010010₂ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

		1000,
		8,	D

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2₁₆.

Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2ⁿ в двоичную систему. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Пример 21. Переведем шестнадцатеричное число 4АС35₁₆ в двоичную систему счисления.

В соответствии с алгоритмом:

	А	С

Получаем: 1001010110000110101₂.

Арифметические операции в двоичной системе счисления. Рассмотрим более подробно арифметические операции в двоичной системе счисления. Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения цифр. Арифметические операнды располагаются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты на пересечении столбцов и строк

+	0 1	-	0 1	×	0 1
0	0 1 1 10		0 11 1 0		0 0 0 1

Рассмотрим подробно каждую операцию.

Сложение. Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд.

Пример 22. Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:

1001 1101 11111 1010011,111

+ + + +

1010 1011 1 11001,110

------ ------ --------- --------------

10011 11000 100000 1101101,101

Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде.

Пример 23. Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных чисел:

10111001,1 - 10001101,1 = 101100,0

101011111 - 110101101 = -1001110

10111001,1 110110101

- -

10001101,1 101011111

--------------- --------------

00101100,0 001010110

Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Пример 24. Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:

11001 × 1101 = 101000101

11001,01 × 11,01 = 1010010,0001

11001 11001,01

× 1101 × 11,01

--------- -----------

11001 1100101

11001 1100101

11001 1100101

------------- -----------------

101000101 1010010,0001

Вы видите, что умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Пример 25. Рассмотрим пример деления двоичных чисел:

101000101: 1101 = 11001

101000101 1101

- 1101 11001

-1101

-1101

Сложение в других системах счисления. Ниже приведена таблица сложения в восьмеричной системе счисления:

+

Дата добавления: 2014-01-05