Механическая работа и потенциальная энергия. Типы равновесия

Введем понятия «работа» и «потенциальная энергия».

Пусть некоторое тело или материальная точка движется в силовом поле . Если под действием этого поля тело совершило бесконечно малое перемещение , то величина совершенной работы () равна:

где -угол между векторами и .

Если проекцию вектора движущей силы на направление вызываемого ей движения обозначим , то выражение для механической работы принимает вид:

.

Работа на конечном участке пути () равна:

.

Из представленного выражения видно, что сила, направленная перпендикулярно направлению вызываемого ей перемещения, работы вдоль этого направления не совершает. В свою очередь, из этого вывода следует, что работа сил поля при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями тела. Действительно, пусть в поле действия сил тело переносится из точки 1 в точку 2 по пути «а» (совершается работа ) и обратно по пути «» (совершается работа). Общая работа при этом, очевидно, равна нулю, т.к. результирующего перемещения не произошло. Итак: или . Учтем, что при изменении направления переноса тела работа меняет свой знак на противоположный (это следует из определения понятия работы), т.е. . Поэтому . Таким образом, доказано, что механическая работа не зависит от формы пути (траектории).

С помощью понятия работы вводится понятие «потенциальная энергия».

Потенциальная энергия тела в точке 1 относительно точки 2 называется взятая с обратным знаком работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2.

Если точки 1 и 2 бесконечно близки друг к другу, то . При этом, т.к. , имеем или

Итак. Проекция силы на некоторое направление есть взятая с обратным знаком первая производная от потенциальной энергии по этому направлению.

Различают следующие типы равновесий.

а) безразличные (шарик на плоскости

в поле тяжести Земли)

б) устойчивые (шарик в ямке),

в) неустойчивые (шарик на выпуклой

поверхности)

Условием наличия равновесия любого типа является равенство нулю суммарно действующей на тело силы, т.е.

или .

Если в точке, где это условие выполняется

, то равновесие безразличное,

- устойчивое,

- неустойчивое.

Дата добавления: 2014-01-05