Перша форма суперпозиційного інтегралу Дюамеля

Нехай складне пасивне лінійне електричне коло з нульовими початковими умовами вмикається до джерела, напруга якого змінюється за довільним законом u(t):

Визначимо перехідний струм в колі в довільний момент часу t. Цей час обирається довільно, фіксується і вважається постійною величиною – параметром відліку. Плинний час позначимо τ, причому 0 ≤ τ ≤ t. Часову вісь розбиваємо на інтервали ∆ τ.

Для розрахунку перехідного процесу суперпозиційним методом сигнал u(t) заміняємо приблизно ступінчастою функцією, яка складається із низки ступінчастих сигналів, які слідують з інтервалом часу ∆ τ (рис.14.9). Величини цих сигналів позначимо

U(0), ∆U₁, ∆U₂,_…, ∆U_n.

До максимуму напруги u(t) стрибки вхідного сигналу є позитивними, після максимуму – негативні.

Визначимо складові вихідного сигналу для кожного ступінчастого вхідного сигналу [ Y(t)=Ah(t) ]:

U(0)h(t) – складова вихідного сигналу від першого ступінчастого сигналу;

∆U₁ h(t- Δ τ) – від другого ступінчастого сигналу, де h(t- Δ τ) – перехідна характеристика кола для одиничної функції, яка запізнюється за часом на ∆ τ;

∆U₂ h(t-2∆τ) – від третього ступінчастого сигналу і т. д.

Тоді для t=n∆τ згідно принципу накладання вихідний сигнал в колі приблизно дорівнює

i(t)≈U(0)h(t)+∆U₁ h(t-∆τ)+…+ ∆U_n h(t-n∆τ)= U(0)h(t) +∆U_k h(t-k∆τ).

Помножимо суму на ∆ τ/ ∆ τ та перейдемо до lim∆τ =0 при n→ ∞, тоді отримаємо

i(t)≈U(0)h(t)+∆U_k /∆τh(t-k∆τ)∆τ.

В ліміті сума в правій частині цього рівняння перетворюється в інтеграл, а саме рівняння із приблизного – в точне.

Враховуючи, що h(t)=y(t), перехідний струм в колі для часу t буде дорівнювати

i(t)=U(0)y(t)+u^’(τ)y(t-τ)dτ. (14.1)

Це є перша форма суперпозиційного інтегралу Дюамеля, тут:

U(0) – величина вхідної напруги при t =0,

y(t) – перехідна провідність,

τ – плинний час,

u^’(τ) – похідна від напруги u(t), в який t замінюється на плинний час τ.

Дата добавления: 2014-01-05