Доверительный интервал для параметров регрессионной модели

Теорема Гаусса-Маркова.

Основные предпосылки регрессионного анализа.

Коэффициент корреляции.

Тесноту связи регрессионной модели измеряют с помощью коэффициента корреляции (-1£ r_xy £1): если r_xy>0,7 – связь тесная, сильная; если r_xy>0,9 – связь близкая к линейной. 0,5< r_xy <0,7 – связь существенная; 0,3< r_xy <0,5 – связь умеренная; r_xy <0,3 – связь слабая. Чем ближе к -1 или 1, то связь сильная. Если r=±1 – связь функциональная, в ней случайная составляющая отсутствует (ŷ=f(x)) (рис.)

r_xy=(yx-yx)/(s_xs_y)

Чтобы регрессионный анализ давал наилучшие из всех вариантов МНК-оценки, регрессионные остатки e должны удовлетворять условиям Гаусса-Маркова:

1. Зависимая переменная y_i есть величина случайная, а объясняющая переменная x_i – величина неслучайная.
2. Математическое ожидание М(e_i)=0 для всех наблюдений.
3. Дисперсия случайных отклонений постоянная: Д(e_i)=Д(e_j)=s² для всех наблюдений i и j. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью, нарушение данного условия – гетероскедастичность.
4. Случайные отклонения являются независимыми друг для друга. Возмущения e_i и e_j (или переменные y_i и y_j) не коррелированны.

cov (e_i;e_j)=0, если i¹j

s², если i=j

Выполнение данного условия говорит об отсутствии автокорреляции.

1. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных cov (e_i;x_i)=0

Модель является линейной относительно параметров, следовательно, МНК применим для линейной модели. Если регрессионные остатки не удовлетворяют некоторым предпосылкам, то следует корректировать модель.

Если предпосылки регрессионного анализа выполняются, то МНК-оценки обладают следующими свойствами:

1) несмещенность оценок регрессии М(b)=b, М(а)=a

2) состоятельность МНК-оценок – при увеличении объема выборки (n®¥) Д(b)®0, Д(а)®0Þb®b, a®a

3) эффективность МНК-оценок, то есть наименьшая дисперсия оценок по сравнению с любыми другими оценками данных параметров: Д_b®min, Д_а®min

Наряду с предпосылками имеются еще и несколько предположений, соблюдаемых при построении модели регрессии:

1) случайное отклонение e имеет нормальное распределение

2) число наблюдений n в 5-6 раз больше объясняющих переменных х

3) отсутствуют ошибки спецификации

4) отсутствует совершенная мультиколлинеарность

Доверительный интервал – числовой интервал, который с заданной вероятностью g накрывает неизвестное значение параметра q. Для определения доверительного интервала, в котором с вероятностью у и уровнем значимости a=1-у находится истинное значение коэффициента регрессии, определяют критическое значение статистики Стьюдента t_{крит(табл)}, удовлетворяющее условию Р(½t½< t_крит)=1-a. Для парной регрессии n-m-1=n-1-1=n-2.

Доверительный интервал находится по формуле:

b-t_таблm_b<b<b+t_таблm_b

a-t_таблm_a<a<a+t_таблm_a

Доверительный интервал для М_x(Y):

ŷ-t_1-a;kS_ŷ£М_x(Y)£ŷ+t_1-a;kS_ŷ

Доверительный интервал для индивидуального значения y₀^*:

ŷ₀-t_1-a;kS_ŷ0£y₀^*£ŷ₀+t_1-a;kS_ŷ0

Доверительный интервал для коэффициента регрессии:

b_j-t_1-a;kSbj£b_i£b_j+t_1-a;kSbj

Доверительный интервал для параметра s²:

ns²/c²_s/2;n-m-1£s²£ ns²/c²_1-s/2;n-m-1

Дата добавления: 2014-01-05