Определение числа образцов при ограниченных выборках

Стандартные планы испытаний на надёжность

Стандартизованные планы испытаний включают:

1) Число образцов (N);

2) Отношение к стратегии: восстанавливаются изделия (M), не восстанавливаются (U), заменяются новыми, взамен отказавшего изделия (R);

3) Время испытаний или наработки (T).

Планы испытаний

№ пп	Обозначения	Определение
	План [NUT]	План, согласно которому одновременно испытывают N образцов отказавшего во время испытания изделия – не восстанавливаются и не заменяются. Испытания прекращают по истечении времени испытаний и наработки T для неотказавших образцов
	План [NUr]	План, согласно которому одновременно испытывают N образцов, отказавших во время испытания изделия не восстанавливаются и не заменяются новыми. Испытания прекращают, когда число отказавших изделий равно r.
	План [NU(r, T)]	План, согласно которому одновременно испытывают N образцов отказавших во время испытаний, образцы не восстанавливаются и не заменяются новыми. Испытания прекращают, когда число отказавших изделий достигает числа r или истечений времени наработки T для каждого неотказавшего изделия в зависимости от того, какое из условий было достигнуто ранее.
	План [NRT]	План, согласно которому одновременно испытывают N образцов, отказавшие изделия заменяют новыми. Испытания прекращают по истечении времени наработки T для каждого образца.
	План [NMT]	План, согласно которому одновременно испытывают N образцов, после каждого отказа образец восстанавливают. Испытания прекращают при достижении времени наработки T.
6 - 16	Планы 6…16

Проведённые планы в большей или меньшей степени отвечают целям и задачам испытаний на надёжность изделий машиностроения и чаще всего используются на практике. Всего же для изделий M стандартизовано 16 планов.

Стандартизация планов испытаний необходима для организации испытаний, разработки критериев их испытания, для контроля за их проведением, а также для статической отработки их результатов.

Для определения числа образцов при ограниченных выборках должна использоваться априорная информация, накапливаемая в системе контрольных (периодических) испытаний. Это позволяет значительно сократить число образцов, снизить стоимость и повысить достоверность получаемых результатов. Оценка значимости выявленных при испытаниях недостатков на основе только инженерной интуиции экспертно (либо по согласованию с изготовителем - потребителем) не даёт возможности представить последствия принимаемых решений для обеих сторон. Обычно такие решения носят случайный характер и поэтому следствием рекомендаций внесённых в конструкцию или технологии может принести не только пользу, но и вред. Такое положение сохраняется, несмотря на значительное усовершенствование методов испытаний, разработку и внедрение новых технологий (эффективных) на проведения, а также проведение испытаний в специализированных центрах, где обеспечивается их независимость, высокий уровень стабильности и воспроизводимости, а также сопоставимость результатов. В тоже время именно сосредоточение испытаний на единой технологической базе даёт возможность рещить проблему достоверности испытаний для мелких выборок.

В теории планирования испытаний выбор плана означает подбор такого числа образцов в испытательной партии и приёмочного числа исходов при установленном браковочном уровне.

Приёмочное число - максимальное число образцов, не соответствующих нормативным требованиям, при котором результаты испытаний ещё оцениваются положительно.

Браковочный уровень – максимально допустимая доля продукции в общем её количестве, не соответствующая требованиям НТД (нормативно), при котором продукция принимается потребителем, что оговаривается заранее.

Формализуется это так, потому что заданная вероятность различных исходов явлений функций всех перечисленных величин. Если задаётся вероятность непревышения числа неудачных исходов испытаний (т.е. приёмочного числа) и партия продукции принимается, то её величина выражает риск потребителя. Если задаётся вероятность определенного превышения числа неудачных исходов над приёмочными, то эта величина выражает риск изготовителя, однако, в действительности в первом случае брака больше, чем допустимо, а во втором случае наоборот. Поскольку риски на принятие ошибочных решений соответствуют или не соответствуют качеству продукции (заданному уровню) и наперед задаются по договоренности, то выбор плана испытаний – задача обратная по отношению к прямой задаче. Когда по результатам испытаний вычисляются риски потребителя и изготовителя при известных объёмов испытаний партии (приёмочном числе и браковочном уровне). Эта обратная задача решается при соблюдении следующих положений и правил:

· Комплектация испытательной партии на испытания готовой продукции, прошедшей контроль ОТК, выполняется путём отбора образцов случайным образом из контролируемой серии выпускаемой продукции, предназначенной для реализации потребителю. Такие выборочные испытательные партии представляются для контроля серий периодически, а поэтому к контролируемой серии относится продукция, изготовленная в принятом для контроля периоде (месяц, квартал, год).

· Контролируемые величины – показатели качества, требования к которым регламентируются ТУ, стандартами, нормалями и другой ТД.

· Ограничивающий испытания фактор – число испытательных образцов и протяженность испытаний(время, объём выполненной работы, пробег и.т.п.)

· Процедура получения результатов – испытываются N образцов в строго одинаковых условиях и каждый образец оценивается по измеренному значению показателя качества в виде соответствия и несоответствия требованиям НТД. Несоответствие продукции заданным требованиям считается неудачным исходом, и если число неудачных исходов в испытательной партии X не превосходит заданную величину C – приёмочное число, то продукция считается качественной и аттестуется положительно и наоборот.

Т.е. задача планирования состоит в назначении необходимого числа N и приёмно-браковочного уровня C, исходя из допустимого браковочного уровня качества продукции Q, рисков потребителя β и производителя α при аттестации серии. Вследствие ограниченности выборки, погрешности в измерении, показателя качества, число успешных исходов и неудач в испытаниях является случайной величиной. Поэтому событие аттестации или неаттестации по данному показателю при различных X≤C и X>C являются случайной объективной характеристикой рассматриваемого события, является его вероятностью, а количественная оценка этой вероятности определяется из следующих условий:

1) Испытания (измерение каждого образца испытательной партии) являются независимыми.

2) Браковочный уровень контролируемой серии продукции по рассматриваемому показателю определён как доля общего объёма серий.

3) Погрешности измерений при испытаниях малы в сравнении с отклонениями от требований НТД и ими можно пренебречь.

В этих условиях браковочный уровень, если он задан в виде конкретного значения Q=Q₀, означает вероятность несоответствия показателя качества требованиям НТД в наугад выбранном образце продукции из контролируемой сети.

Принятия процедуры получения результатов испытаний отвечает дополнительной схеме, когда вся серия контролируемых показателей разделяется на 2 части: соответствующие НТД и несоответствующие НТД.

В этой схеме вероятностные характеристики испытаний описываются известными уравнениями:

, где

- вероятность получения при испытаниях N образцов равно x случаев несоответствия контролируемых показателей требованиям НТД.

- вероятность получения при испытаниях числа образцов несоответствующих НТД, которое не превышает приёмочное число C/

- число сочетаний из N элементов по x.

Величина выражает вероятность неудач не более как в C случаях на N образцах, выбранных из серии, где доля брака строго обусловлена (Q=Q₀), при которой продукция должна быть аттестована положительно. Вместе с тем, если при испытаниях обнаруживается x≤C и на этом основании продукция аттестуется, то именно в этом случае появляется риск аттестовать серию, в которой доля брака превышает обусловленный уровень (Q>Q₀)/

При такой постановке задачи планирования испытаний появляется большое количество работ, а предлагаемые методы стандартизованы, однако эти методы неприемлемы для испытаний таких видов продукции, на контрольные испытания которых не может быть выделено достаточное число образцов, а особенно это относится к сложной дорогостоящей продукции машиностроения. Учитывая, что в соответствии с ГОСТ, уровень риска потребителей не может превышать значения β≤0,3. Необходимо снижать риски без увеличения числа испытуемых образцов. Одним из таких путей является введение в оценку достоверности результатов испытаний фактического уровня доли брака в общем её количестве. Это даёт реальное представление стабильности производства и снижает величину риска при оценке качества продукции. Определенные сведения о фактическом уровне брака можно подчеркнуть из обобщенных ранее результатов испытаний, так называемая априорная информация. Планирование при этом принимает более достоверный и более сложный вид. Такой подход меняет функции (1) и (2) и придаёт рискам потребителя и изготовителя реальный характер для данной серии.

Формально такой подход к планированию испытаний с учётом априорной информации заключается в преобразовании функций (1) и (2), которые после преобразования представляют собой функцию двух случайных величин.

x – число обнаруженных при испытаниях несоответствий;

Q – браковочный уровень (фактический) готовой серии продукции.

Исходя из того, что истинное значение браковочного уровня неизвестно, исчерпывающей его характеристикой является закон распределения, который необходимо извлечь из данных накопленных в системе предыдущих испытаний.

Браковочный уровень в таком представлении характеризуется функцией случайной величины P=f(Q). Плотность распределения двух случайных величин Q и x определяется по теории умножения вероятностей как произведение первой плотности и условной плотности второй, вычисленной при условии, что первая (функция брака) приняла определённое значение:

f(x,Q)=f(Q)*f(x/Q) (3)/

Соответственно интегральная функция распределения выражается в следующем общем виде:

(4)

Для того, чтобы воспользоваться этими выражениями необходимо рассмотреть следующие особенности рассматриваемого случая:

1. Случайная величина x – дискретна и её распределением является (1). Соответственно дискретным аналогом интегральной функции её распределения является суммирование по всем значениям x с интервалом x=1 в пределах от 0 до C, следует, что дискретным аналогом интеграла (4) является уравнение (2) при условии, что Q приняла определённое значение (Q=Q₀)/

2. Случайная величина Q по своему физическому значению может изменяться от 0 до 1. При этом риском потребителя связаны только те её значения, которые превышают обусловленный браковочный уровень Q>Q₀ при x≤C.

Следовательно, искомой величиной действительного риска потребителя β_g=P(x≤C, Q>Q₀) (5) принимая во внимание эти особенности (вышеперечисленные), оперативная функция выражается теперь относительно двух случайных чисел и используется для расчёта плана испытаний согласно уравнениям (2), (4) в виде:

(6)

Точно также выражается действительный риск производителя:

(7).

Для более наглядного представления такого подхода к определению достоверности результатов испытаний по рискам потребителя и изготовителя обратимся к таблице.

Таблица. Вероятностная оценка гипотез и событий отражающих суть испытаний.

Гипотезы (Hi)	События (Ai)	Риски
Hi: Q≤Q0	Ai x≤C	Ai x≤C		β потребитель
Hi: Q>Q0
Hi: Q≤Q0	Ai x>C	α производитель
Hi: Q>Q0	Ai x>C

При таких исходах испытаний, когда события A_i связаны с определенной гипотезой H_i. Вероятность его исхода оценивается по теории умножения закона распределения системы случайных величин, а именно:

(8), где - вероятность i-ой гипотезы, - условная вероятность события A_i при гипотезе H_i.

Условная вероятность события x≤C (когда реализуется гипотеза H₁) находится из выражения (2), а именно при Q≤Q₀ (9)/

Вероятность гипотезы Q≤Q₀ определяется по найденному закону распределения браковочного уровня в процессе производства, а именно:

(10).

Тогда согласно (8)

Учитывая, что и, вероятность других событий, предусмотренных таблицей гипотез и событий при соответствующих гипотезах, выражается в виде:

Т.к. таблица охватывает все возможные события, то.

Простая подстановка выражений P_i(A_i) с помощью введенных обозначений (F₁ и F₂) убеждает, что это соотношение соблюдается также в соответствии с таблицей достоверности рисков потребителя, что при подстановке (9) и (10), с учётом (2) вновь даёт выражение (6). Точно также действительный риск изготовителя P₃(A₃) при таком же вероятностном представлении выражается в виде (7).В полученных соотношениях видно, что для реализации такого подхода к планированию испытаний и оценки достоверности их результатов необходимо подобрать модель закона распределения браковочного уровня и извлечь из априорной (ранее полученной, накопленной) информации данные для определения его параметров.

Для выбора такой модели имеются некоторые очевидные признаки: по смыслу браковочного уровня интервал его распределения изменяется от 0 до 1 так, что f(0)=f(1)=1.

Кроме того, при постоянно действующем ОТК на предприятии-изготовителе вероятность несоответствия НТД по показателю качества невелика, поэтому среднее значение распределения вероятности может находиться неподалеку от начала интервала (Q≈0) и чем ближе к 0, тем эффективнее контроль ОТК. По параметрам, которые в производстве выдерживаются неустойчиво, смещение браковочного уровня от начала интервала может быть значительным. Из этого следует, что закон распределения должен иметь несимметричную форму и должен обладать гибкостью формы для охвата любой области измерения. С такой, качественным образом подбираемой, моделью хорошо согласуются функции β-распределения вида: (11) – β-распределение, где δ,ρ – параметры распределения.

плоская β-функция с параметрами δ, ρ. Форма функции β-распределения имеет вид:

При известных значениях параметров β-распределения полная β-функция вычисляется по таблицам Γ(γ) функции с помощью соотношения: (12).

Принимая в качестве модели распределения браковочного уровня функцию β-распределения (11) формулы для расчётов плана испытаний получаются подстановкой (11) в (6) и (7), что после преобразований даёт (13)

(14)

Для удобства расчёта по этим формулам воспользуемся определением неполной бета функции:

Смысл и отношением неполной к полной β-функции (IQ₀)/

(15), после подстановки этих выражений в (13) и (14) и элементарных преобразований, значения рисков приобретают следующий вид:

(16)

(17)

Упрощение расчётов по этим формулам достигается, благодаря тому, что отношение табулировано с достаточно высокой разрешающей возможностью по значениям аргумента Q₀ и параметров δ и ρ. При использовании таблиц отпадает необходимость в вычислении интегралов входящих в формулу (13) и (14). Из приведенного следует, что искомое решение требует определенных параметров закона распределения браковочного уровня, которое выражает зависимость между его параметрами и первыми двумя моментами статистики: (18), где и соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины уровня брака. Разрешение этой системы относительно параметров распределения δ и ρ даёт:

(19).

В этих выражениях первые начальные моменты меняются их оценками (^), вычисляемые по располагаемому статическому ряду случайных значений браковочного уровня.

Для использования полученных теоретических соотношений необходимо ввести некоторые формальные представления о нестабильности производства, выявленных при испытаниях. Необходимо отметить, что биноминальная схема не накладывает какие-либо ограничения на возможные значения доли образцов не соответствующих НТД в пределах от 0 до 1.

В непрерывном производстве доля брака может измениться случайным образом и принимать бесчисленное множество значений, отражая нестабильность производства. Поскольку эта величина может принимать любые значения от 0 до 1, то согласно общей теории вероятности она представляется законом непрерывного распределения F(Q). Допустим, если имеем показатели качества Z и T, то это означает, что F(Q_Z≤Q_0Z) или F(Q_T≤Q_0T), т.е. вероятность того, что в серийном производстве доля брака по показателям Z и T не превышает обусловленной величины.

Учитывая, что машиностроительное производство является, как правило, массовым и крупносерийным, где число образцов массовой продукции велико, назначение каждого измеренного показателя качества также является случайной величиной. Поэтому стабильность производства описывается законом распределения в виде непрерывной функции вероятности появления относительно показателя качества как случайная величина. Поэтому в каждой i-ой серии партия описывается параметрами этого закона распределения в виде математического ожидания и дисперсии по ряду N выполненных измерений показателя, вычисляются точечные оценки (точные значения) этих параметров согласно известным правилам статистики:

(20), где k – номер образца в испытательной партии (i). Т.к. нормативное значение рассматриваемого показателя качества и форма предъявления в виде z<z_k, то обнаруженная в данной испытательной партии стабильность производства характеризуется вероятностью G_i(z<z_k), которая представляет собой численную оценку части образцов, соответствующих НТД и наоборот, вероятная доля несоответствующих НТД образцов данной серии, определяется как 1-G_i(z<z_k), обнаруживаемые в отдельных партиях оценки нестабильности производства одновременно характеризуют и изменчивость её во всей серии выпуска. Формально это выражается для выбранного показателя качества в виде:

1-G_i(z<z_k)=Q_ij, где i=1,2,…; j=1,2,…,n.

Если испытания данного образца проведены в n испытательных партиях, то полученное согласно выражению (16) и (17) статическая совокупность Q_ij, по которой строится статический ряд этой случайной величины и даёт оценку численных характеристик её распределения

(21).

Таким образом, располагая данными периодических контрольных испытаний, выполненных ранее (априорная информация) можно рассматривать действительные данные.

Риски поставщика и потребителя продукции и на основании их выбрать план испытаний, обеспечивающий с заданной степенью достоверности оценку качества продукции. Эффективность изложенной теории и процедура её практического применения иллюстрируется следующей типичной задачей для массовой продукции машиностроения в системе полигонных испытаний для автомобилестроения.

Пример:

· Планируется проведение контрольных испытаний партии автомобилей грузоподъемностью 5 т. по свойству тормозной динамики и надёжности (безотказности). Для испытаний по экологическим соображениям может быть выделено 3 образца (N=3).

· Договорное между изготовителем и потребителем значение браковочного уровня в ежегодных сериях выпуска Q₀=1. Нормативные требования регламентированы ТУ на автомобиль данной модели равно Z_k=44,5 м, а S_k=10000 км пробега – наработка на отказ.

· Необходимо оценить достоверность результатов испытаний и принять решение о качестве автомобиля при равных рисках поставщика и потребителя не более 0,2 и 0,35 на тормозной динамике и надёжности соответственно.

· При испытании партиях автомобилей текущего года были зафиксированы следующие: тормозной путь: 44,5; 41,2; 45,3; а средняя наработка на отказ: 10630 км; 10920 км; 3450 км.

Решение:

Если принять приёмочные числа C=2 и C=1 (условно), то при постановке условий задачи в стандартизованную формулу рисков (Ф-2), то получается оценка риска потребителя β_Z=0,98 и β_t=0,97, которые исключают положительную оценку результатов испытаний, т.к. договорные условия составляли 0,2 и 0,35, однако это противоречит опытным данным и наблюдениям в рядовой эксплуатации по этой модели. Это же подтверждается и состоянием производства, где никаких существенных признаков массового отклонения от ТУ в изготовлении контролируемой серии текущего года не наблюдались. Это противоречие разрешается с помощью оценки действительных рисков потребителя и изготовителя с учётом реальной нестабильности производства, которая определяется из накопленных данных, полученных при испытаниях других серий выпуска.

Для этого из банка данных извлекаются результаты измерений показателей качества в контрольных партиях из 7 лет, приведённых в таблице. Эта информация рассматривается как априорная и она объединяется с результатами последних испытаний в общем объеме 8-ми испытательных партий.

№	Показатели качества	Контрольные показатели текущего года	Результаты испытаний предыдущей серии
	Тормозная динамика
	Z, Μ	44,3
	M, M	43,73	47,27	38,89	40,67	35,53	42,47	40,97	38,47
	σz, n	2,21	0,97	1,35	2,44	2,10	3,09	3,96	0,81
	Qz, i	0,4052	0,2436	0,0384	0,1164	0,027	0,2726	0,1957	0,0302
	Наработка на отказ	T, т.н.
	MT	8,33	3,98	8,76	5,04	10,57	12,71	5,20	13,99
	QT	0,698	0,969	0,680	0,863	0,611	0,543	0,827	0,524

Первичная обработка этих материалов включает:

1) Расчет среднего значения показателей каждой партии по формуле (11) (2-я,6-я строки таблицы).

2) Для показателя тормозного пути, описываемого нормальным законом распределения, рассчитываем СКО (строка 3) по формуле (11).

3) По данному в условиях задачи нормативу и полученных значениях СКО в каждой партии вычисляется оценка вероятности отклонений показателя от этого норматива в каждой испытательной партии как проявление истинной нестабильности производства по формулам (1)-(12).

4) Для показателя средней наработки на отказ T для каждого значения M_T с помощью таблицы экспоненциального распределения вычисляются вероятности отклонения от норматива как реально проявление нестабильности показателя в каждой партии (строка 7)

На этом предварительная обработка (статистическая) данных испытаний и априорной информации заканчивается.

В дальнейшем решение полученных значений Q_Z и Q_T рассматривается как совокупность случайных величин и в каждой из них обычными способами математической статистики вычисляются первые два момента по формуле (21). Опуская простейшие выкладки для строк 4 и 7, соответственно получаем:

и

.

Подстановка этих результатов в формулу (18) даёт значение параметров β-распределения браковочного уровня:

и

.Для вычисления этого распределения находятся значения полной β-функции и соответствующих параметров, согласно (12), опуская вычисления по таблицам Гамма-функций, имеем: и.

Β-распределение браковочного уровня в производстве по рассматриваемым показателям выражаются по уравнению (11) в виде:

и.

Наглядное представление этой функции плотности распределения даёт следующий график:

Плотность распределения браковочного уровня в производстве автомобилей по тормозному пути и средней наработке на отказ.

Теперь в примере необходимо, либо по полученным параметрам определить интеграл по указанным условиям задачи в пределах от соответствующей плотности распределения и подставив в уравнение (13) и (14), вычислить риск потребителя, либо воспользоваться таблицами отношений для полученных параметров распределения браковочного уровня при заданном его значении и вычисления произвести по формулам (16) и (17). Как более простой, используем второй вариант и по формулам (16), опуская все вычисления, получим риск потребителя: и.

Приведённые вычисления показывают, что действительный риск потребителя, рассчитанный с учётом шлейфа данных накопленных в банке данных, вдвое меньше оценки традиционным способом без учёта априорной информации.

По показателям надёжности в виде средней наработки на отказ включение в расчёт данных, накопленных за 8 лет, почти не повлияло на недопустимо высокий риск потребителя и низкую оценку достоверности испытаний. Этого можно было ожидать, уже по результатам опытных данных, если обратить внимание на большой разброс показателей наработки на отказ между образцами, в то же время из приведённого примера видны пути повышения достоверности контрольных испытаний.

Для этого по полученным данным определим отношение к во всём диапазоне значений Q с шагом 0,1 и для каждого значения Q рассчитаем все действительные риски при всех значениях браковочного числа от 0 до 3 по формулам (17).

Результаты представлены графически в виде рисунка, где каждая кривая отвечает указанному в ней приёмочному числу. Здесь же пунктиром выделена зона допустимого стандартом (сам его рекомендовал) риск потребителя в машиностроении.

Л-8

Рис. Зависимость риска потребителя от договорного значения браковочного уровня в производстве автомобиля при разных приёмочных числах в испытании тормозных свойств и надёжности (безотказности).

На графике видно существенные отличия достоверности результатов контроля тормозного пути от контроля безопасности. По показаниям тормозного пути заданная нестабильность производства обеспечивает достоверность результатов испытаний при C_T=0. Наоборот, по показателю безопасности достоверность результата испытаний даже при самых удачных исходах C_T=0, достигает рекомендуемых рисков потребителя при соглашении заказчика и потребителя на уровне браковочного уровня Q₀=0,35 (не менее). Таким образом, для контроля тормозного пути трёх образцов при приёмочном числе C_Z достаточно. При контроле показателей надёжности число испытуемых образцов потребует увеличения.

Дата добавления: 2014-01-05