Методы описания шума

Процесс регистрации сигнала при наличии шумов требует предварительного знания отличительных признаков сигнала и шума. Использование этих признаков позволяет решить задачу обнаружения сигнала и шума.

Шум представляет собой случайную функцию, которая может приносить тот или иной вид – какой заранее неизвестно.

Конкретный вид называется реализацией случайной функции.

Аргументом случайной функции может быть не только время, но и пространственные координаты.

Статистические свойства шума в общем случае описываются многомерными законами распределения.

Имеем случайную функцию U(χ) и ее две конкретные реализации U₁(χ) и U₂(χ), где χ – обобщенная координата.

Рис. 1.Реализации случайной функции

Если зафиксировать значение аргумента χ, то случайная функция при этом аргументе будет представлять собой случайную величину, которую называют сечением случайной функции. Эта величина U может принимать любые значения.

Предполагая, что вероятность попадания случайной величины U внутнри малого интервала dU пропорциональна интервалу, можно охарактеризовать ее этой вероятностью:

,

или значением коэффициента пропорциональности – функцией

,

которую называют плотностью распределения вероятностей случайной величины U, или одномерным законом распределения вероятностей случайной функции.

Условие нормировки для непрерывной случайной величины U

,

вероятность пребывания ее в этом промежутке равна единице.

Законы распределения большей частью неизвестны, но при дополнительных условиях они хорошо аппроксимируются нормальным или гауссовским законами распределения.

Наиболее доступными и достаточными для описания вероятностных характеристик случайных функций являются их числовые параметры – математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.

Математическое ожидание случайной функции U(χ) представляет собой некоторую среднюю функцию, вокруг которой различным образом располагаются конкретные реализации случайной функции.

При каждом значении аргумента средняя функция равна среднему значению (математическому ожиданию) соответствующего сечения случайной функции.

Среднее значение сечения случайной функции Ū равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:

.

При экспериментальных исследованиях используется способ усреднения по аргументу χ

,

где U(χ) – одна из реализаций в интервале ±х.

Среднее значение для каждой реализации будет своё.

Для случайных функций, называемых эргодическими среднее по аргументу равно среднему по множеству наблюдений , вероятность равна единице.

Дисперсия случайной функции U(χ) представляет собой некоторую неслучайную функцию, значение которой для каждого χ равно дисперсии сечения случайной функции.

- дисперсия случайной функции.

Дисперсию случайной функции можно найти, вычисляя для различных χ.

- среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Для стационарной функции дисперсия, вычисленная по множеству реализаций, постоянна .

Дисперсия случайной функции может вычисляться как среднее по аргументу χ:

.

Математическое ожидание и дисперсия не дают полного представления о случайной функции.

Рассмотрим два соседних сечения случайной функции U₁ = U(χ₁) и U₂ = U(χ₂). При близких значениях χ₁ и χ₂ величины U₁ и U₂ связаны тесной зависимостью. При увеличении же интервала между сечениями χ₁ и χ₂ зависимость между U₁ и U₂ должна ослабевать.

Степень зависимости характеризуется некоторой функцией двух аргументов χ₁ и χ₂ – корреляционной функцией, которая определяется как математическое ожидание произведения двух центрированных случайных величин U₁ – Ū₁ и U₂ – Ū₂

.

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция не зависит от того, где на оси χ располагаются два сечения U(χ₁) и U(χ₂), а зависит только от разности

Для эргодического случайного процесса функция корреляции может быть вычислена как среднее по аргументу.

Случайная функция называется эргодической, если ее среднее значение, дисперсия и корреляционная функция, вычисленные по нескольким реализациям, совпадают со средними значениями, вычисленными для одной реализации при достаточно большом значении временного или пространственного интервала усреднения.

Дата добавления: 2014-01-05