Теорема Остроградского-Гаусса

Любому векторному полю соответствует функция, называемая дивергенцией этого векторного поля

.

Теорема Остроградского-Гаусса гласит

поток векторного поля через замкнутую поверхность, ориентированную наружу, равен интегралу от дивергенции этого поля по объёму, охваченному этой поверхностью

.

Смысл дивергенции

Рассмотрим выпуклую поверхность, охватывающую достаточно малый объём. Тогда по теореме о среднем для интеграла

.

Предположим, что векторное поле втекает внутрь объёма V, т.е. в каждой точке поверхности S векторы направлены против векторов нормалей . Поэтому в каждой точке скалярное произведение отрицательно.

Тогда интеграл . Так как величина объёма V>0, то

.

Говорят, что в этом случае поле имеет внутри поверхности S «сток» - «оно как бы стекает в некоторую дырку».

Если же , то говорят, что у поля есть «источник».

Можно заметить, что в случае стока или источника поля, при стягивании поверхности S в точку, векторное поле становится похожим на картину силовых линий точечных зарядов.

В этом случае положительные заряды являются источниками электрического поля и для них .

Отрицательные заряды являются стоками электрического поля. Для них .

Электрические заряды принято называть просто источниками (положительными и отрицательными) электрического поля.

Таким образом, силовые линии электростатического поля не являются непрерывными линиями – они имеют начало и конец.

Вихревое электрическое поле не имеет источников. Действительно, в этом случае существует некоторое поле , такое, что , поэтому

.

Но

,

поэтому

Так как вихревое поле не имеет источников, то его силовые линии нигде не разрываются, т.е. они непрерывные и замкнутые.

Дата добавления: 2014-01-05