Определение качества задачи оценивания измеряемого параметра

Необходимыми компонентами математической постановки задачи оценивания измеряемых параметров являются: математическая модель измерения (ММИ); априорная и апостериорная информация; критерий оптимизации, а также ограничения, накладываемые на алгоритм оценивания вектора x и обеспечивающие его практическую реализуемость [3, 88].

При редукции экспериментальных данных возникает не только задача о точности или согласованности результатам измерения y модели, принятой в математической постановке задачи оценивания, но и задача возможности ее использования при редукции экспериментальных данных y. Надежность решения каждой из этих задач должна характеризоваться соответствующим риском [1]. Риск позволяет контролировать весь процесс интерпретации результатов измерения, включая диалог с оператором и вычисления на ЭВМ. В режиме диалога можно изменять и дополнять модель, основываясь на дополнительной информации по результатам редукции измерения, привлекать дополнительные измерения, т.е. риск формируемой в диалоге модели позволяет контролировать непротиворечивость привлекаемой информации и результата эксперимента.

Вычислительные погрешности, возникающие при редукции, влияют на совокупную надежность примерно так же, как погрешности в модели, привлекаемой для интерпретации. При этом критерием качества принимаемого решения выбирается риск [1, 76, 102], поскольку в используемом в этом случае апостериорном подходе основной характеристикой процедуры статистического вывода служит величина средних потерь среди тех экспериментов, которые закончились принятием одного и того же решения из пространства асимптотических решений [98].

В общем случае, для оценки надежности результатов измерения в темпе поступления измеряемой информации Y , количественной мерой потерь от принятия оценки вместо истинного значения x является функция потерь L (х, (Y ₀)) [1, 83, 98], которая определяется разницей (х – )и выборкой Y . При этом оценка не совпадает, за редким исключением, с истинным значением случайного процесса х. Поскольку наблюдения у несут в себе элементы случайности, то случайными будут и значения L (х, (Y ₀)), поэтому для построения функционала (Y ) усредняют ее по множеству изменения процесса у _у:

r (х, ) = М_y [ L (х, (Y ))| х ] =(х, (Y )) p (Y | x) dY , (2.1)

где p (Y | х) – условная плотность распределения вероятностей.

Оценку в выражении (2.1) выбирают так, чтобы она соответствовала среднему значению х на множестве _x, найденному с учетом вероятности появлений каждого значения х. Для этого используется средний риск – математическое ожидание условного риска r (х, ), взятое по х:

R () = М _хr (х, ) =(х, ) p (x) dх, (2.2)

а критерием оптимизации оценивания выбирается критерий Байеса:

R () = R (^б). (2.3)

Из равенства (2.2) следует, что для квадратичной функции потерь

R (p_x, | Y ) = х – )² p (x | Y ) p (x) dх dY _.

Для минимизации риска выбранной модели используют наиболее распространенный метод получения точечных оценок – метод максимального правдоподобия [1, 2], заключающийся в нахождении решающего правила (y) при Rⁿ ®W _x, для которого любой y максимизирует по x значение плотности вероятности p (y | x):

p (y; (y)) ³ p (y; x) для всех x Î W _x. (2.4)

Статистика (Y), которая удовлетворяет соотношению (2.4.), является оценкой максимального правдоподобия параметра x. В соответствие с принципом максимального правдоподобия, реализовавшееся на экспериментальной реализации х вектора наблюдений Y значение оценки максимального правдоподобия (Y) принимается за приближенное значение неизвестного параметра x. В терминах (Y) и L (Y; x) соотношение (2.4) эквивалентно тому, что с вероятностью Р = 1

L (Y; (Y)) = L (Y; x). (2.5)

Соотношение (2.5) и объясняет происхождение термина «оценка максимального правдоподобия». При регулярном семействе P = { p (y; x), x Î W _x }, для определения оценки максимального правдоподобия (Y), находят решение уравнения правдоподобия L (Y; x) = 0. Поскольку для любой положительной функции g (x) и функции ln g (x) экстремумы совпадают, то решают уравнение

L(Y; x) = 0, (2.6)

где L(Y; x) = ln L (Y; x) – информант вектора Y.

В соответствии с выражением (2.4), может существовать не одна, а несколько оценок максимального правдоподобия параметра x, что встречается в нерегулярных случаях, т. е. либо L (Y; x) не является дифференцируемой, либо множество Г(y) = { y: p (y; x) = 0} зависит от y. Поиск таких оценок становится труднее, но они обычно являются более точными в смысле минимизации квадратичного риска, поскольку из множества W _x выделяются точки с нарушенными условиями регулярности, что является информацией о плотности f (y; x) вектора наблюдений Y.

Дата добавления: 2014-01-05