Множественная линейная регрессия

Другие формы нелинейной парной регрессии.

Используя МНК можно построить практически любые формы нелинейной парной связи. Для этого используют линеаризирующие преобразования, т.к. только линейные по параметрам функции восстанавливаются МНК. Приведем часто встречающиеся парные зависимости и линеаризирующие преобразования переменных.

	Функция	Линеаризирующие преобразования
	Преобразования переменных	Выражения для величин a и b
y′	x′	b′	a′
		y	1/x	b	a
		1/y	x	b	a
		x/y	x	b	a
		lg y	x	lg b	lg a
		ln y	x	ln b	a
		1/y	e^-x	b	a
		lg y	lg x	lg b	a
		y	lg x	b	a
		1/y	x	a/b	1/b
		1/y	1/x	a/b	1/b
		ln y	1/x	ln b	a
		y	x^n	b	a

Качество предсказания результатов проверяют с помощью уравнения. После вычисления коэффициентов и по методу наименьших квадратов (как для выборочной линейной регрессии) выполняют обратные преобразования, т.е. по и определяют и в соответствии с указаниями приведенной выше таблицы.

Т.о. парная зависимость может иметь разнообразную форму.

До тех пор, пока не проверены все известные формы связи, исследователь не может быть уверен, что выбрана лучшая форма с точки зрения предсказания результатов опыта. Исключение – случай, когда множество точек измерений имеет определенную и интерпретируемую форму.

Замечание. Выбор оптимальной формы связи осуществляется по минимальной остаточной дисперсии.

Пример 1. Исследовать стохастическую зависимость себестоимости единицы продукции Y от объема произведенной продукции по данным 15 предприятий.

Выпуск продукции, тыс. шт. (Х)

Себестоимость единицы продукции, руб. (Y)

Построим поле корреляции, т.е. нанесем на плоскость точки.

Из рис.16 видно, что между Х и Y существует нелинейная связь. Т.к. при отсутствии выпуска продукции нет смысла говорить о ее себестоимости, то регрессию между рассматриваемыми величинами будем искать в виде гипреболы.

Рис.16

Применим линейное преобразование к функции:. Получим. По МНК для коэффициентов и имеем:

.

Т.к. то окончательно

Встречающиеся на практике показатели могут зависеть статистически не от одного, а от нескольких показателей. Например, производительность труда зависит от качества оборудования, уровня автоматизации технологических процессов, профессиональной подготовки рабочих и т.д.

Поэтому обобщим полученные ранее результаты на многомерный случай.

Пусть имеется показателей и получены результаты наблюдений над этими показателями. Далее предположим, что регрессия на имеет вид:

Тогда результаты наблюдений можно записать в виде:

где - случайная ошибка измерения.

Или в матричной форме:

(4)

где

- матрица, транспонированная к матрице.

Оценку в уравнении (4) на основе МНК можно получить по формуле:

,

где - матрица, обратная к матрице.

[1]Общая теория статистики. / Долгушевский Ф.Г., Козлов В.С., Полушин М.И., Эрлих Я.М. - М.: Статистика, 1967; Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник / Под ред. А.А.Спирина, О.Э.Башиной. – 4-е изд. –– М.: Финансы и статистика, 1997;с.5; Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А.Шмойловой. – 3-е изд., перераб. – М.: Финансы и статистика, 2001. с.23.

[2] Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике/ Моск. Гос. Университет экономики, статистики и информатики. –М., 2001.

[3] Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике/ Моск. Гос. Университет экономики, статистики и информатики. –М., 2001.

Дата добавления: 2014-01-05