ЛЕКЦИЯ 4. Деформированное состояние материала в точке. Тензор деформаций. Обобщённый закон Гука

Для исследования деформаций мысленно вырежем вблизи произвольной точки тела элементарный параллелепипед (рис. 3.1). В результате различия перемещений точек параллелепипеда, его ребра удлиняются (укорачиваются), а первоначально прямые углы между ребрами искажаются. В соответствии с этим различают два вида деформаций – линейные и угловые. Деформации удлинения считаются положительными, а укорочения – отрицательными.

Угловые деформации или деформации сдвига,, представляют собой искажения прямых углов между ребрами элементарного параллелепипеда. При этом индексы указывают на то, в какой плоскости происходит угловая деформация. Деформации сдвига так же, как и касательные напряжения обладают свойством взаимности, то есть

,,. (4.1)

Объемная деформация равна сумме трех линейных деформаций

=. (4.2)

Деформированное состояние в точке характеризуется тремя деформациями в направлении осей x, y, z и тремя угловыми деформациями в плоскостях xy, yz и zx элементарного параллелепипеда, мысленно вырезанного в окрестности исследуемой точки (рис. 3.1). Деформации этого элемента в плоскости xy показаны на рис. 4.1 и соответственно равны ε_x, ε_y, γ_xy. При повороте координатных осей и граней параллелепипеда будут изменяться значения линейных деформаций ε и углов сдвига γ.

Совокупность линейных и угловых деформаций для всевозможных направлений осей, поведённых через исследуемую точку, определяет деформированное состояние в точке.

Рис. 4.1.

Подобно изменению напряжений на наклонной площадке меняются и деформации в новой системе координат, повёрнутой на угол α относительно начальной. Можно провести аналогию между выражениями для напряжений и деформаций, заменив в выражениях для напряжений нормальные напряжения линейными деформациями, а касательные – половинами углов сдвига получится выражение для деформаций (4.3).

По этой аналогии можно указать такие три ортогональных направления 1, 2, 3, для которых отсутствуют углы сдвига, а линейные деформации ε₁, ε₃ приобретают максимальное и минимальное значения. Эти направления и деформации называются главными. Выражение по аналогии с формулами для плоского напряжённого состояния записаны ниже.

В точках изотропного упругого тела направления главных напряжений и главных деформаций всегда совпадают, в случае анизотропии и неупругости этого может и не быть.

Различают малые и большие деформации.

При малых деформациях деформированное состояние элементарного параллелепипеда определяется тензором деформаций, который, как и тензор напряжения является симметричным тензором второго ранга

Тензор деформаций так же, как и тензор напряжений можно представить в виде суммы шарового тензора и девиатора деформаций

= +. (4.7)

В матричной форме шаровой тензор и девиатор деформаций имеют следующий вид

Величина называется средней деформацией и равна

. (4.9)

При суммировании компонент шарового тензора деформаций с учетом получим.

Шаровой тензор деформаций определяет объемную деформацию параллелепипеда без изменения его формы.

При сложении компонент девиатора деформаций, стоящих на его главной диагонали получим.

Таким образом, девиатор деформаций характеризует изменение формы элементарного параллелепипеда без изменения его объема.

Обобщённый закон Гука имеет вид (4.10).

Для главных деформаций этот закон запишется через главные напряжения в виде (4.11)

.

Здесь ν = ε_y/ε_x - коэффициент Пуассона, E – модуль Юнга, G = E/2(1+ν) – модуль сдвига.

Дата добавления: 2014-01-05