Скорость

Естественный способ описания движения

Координатный способ.

Способы описания движения точки

Лекция 3. Кинематика МТ

Существует три способа описания движения точки: векторный, координатный и естественный.

1. В екторный способ.

Положение интересующей нас точки А зададим радиусом - вектором, проведенным из некоторой неподвижной точки О, выбранной за начало системы отсчета, тогда, в момент времени t₀=0, положение точки А будем характеризовать радиус-вектором - а в момент времен t, (см рис. 3.1).

При движении т. А ее радиус-вектор меняется и по модулю и по направлению, т.е. =f(t), или:

=

(3.1)

Уравнение (3.1), описывающие движение МТ с течением времени, называется кинематическим уравнением движения МТ А.

Рис. 3.1. Радиус-вектор

С телом отсчета связывают систему координат (пусть это пространственная декартова система координат - x, y, z), тогда записав законы изменения проекций радиус-вектора = (f) на оси x, y, z в момент времени t, получим кинематические уравнения движения точки (3.2):

,

(3.2)

Для плоской декартовой координат - x, y система уравнений (3.2) будет иметь вид:

,

(3.3)

Исключив в системе уравнений (3.3) зависимость от времени, получим уравнение траектории движения МТ:

(3.4)

Д/З №1: МТ движется на плоскости - xОy по закону: Найти уравнение траектории и определить ее форму.

Этот способ применяют тогда, когда траектория точки известна заранее. Положение точки А определяют дуговой координатой – расстоянием вдоль траектории от выбранного начала отсчета до данной точки (Рис.3.2). При этом устанавливают (произвольно) положительное направление отсчета координаты l, например так, как показано стрелкой на траектории.

Выберем единичный вектор в точке А, направленной по касательной к траектории в данной точке в сторону возрастания дуговой координаты.

Рис. 3.2.

Движение точки определено, если:

· известна ее траектория;

· начало отсчета О;

· положительное направление дуговой координаты l;

· и закон движения точки, т.е. зависимость l= l(t).

Для характеристики движения МТ вводится векторная величина - скорость. Она характеризует как быстроту движения, так и его направление в данный момент. Рассмотрим движение МТ по некоторой криволинейной траектории.

V

В момент времени t положение МТ характеризуется – ₁; в (t+Δt)₂; за промежуток времени Δt МТ проходит путь ΔS, а радиус вектор получает приращение - Δ

Рис. 4.1. Направление векторов скоростей: средней - < > и мгновенных -

Равномерным движением - называется такое движение, при котором за любые равные, сколь угодно малые промежутки времени Dt частица (МТ) проходит одинаковые пути - DS.

Вектор скорости равномерного движения определяется формулой (4.1):

(4.1)

Модуль вектора скорости равномерного движения - равен пути, проходимому в единицу времени.

Для неравномерного движения вводят понятие модуля средней скорости (среднюю путевую скорость) и вектора средней скорости.

Вектор средней скорости определяется соотношением:

;

(4.2)

Средняя путевая скорость равна:

(4.3)

Для прямолинейного движения: и тогда

(4.4)

Чтобы определить скорость в некоторый момент времени t, необходимо чтобы промежуток времени движения Dt→0, тогда средняя скорость устремится к предельному значению, называемому мгновенной скоростью.

Вектор мгновенной скорости, это ВФВ, равная первой производной радиуса - вектора движущейся МТ по времени:

(4.5)

Вектор мгновенной скорости совпадает по направлению с касательной, проведенной к траектории в данную точку, и направлен в сторону движения.

Модуль вектора мгновенной скорости равен модулю первой производной радиус-вектора по времени (формула (4.6.)).

(4.6)

Но радиус-вектор в общем случае можно представить в виде векторной суммы трех составляющих (4.7)

(4.7)

Тогда вектор мгновенной скорости будет равен (4.8):

		(4.8)
	,,	(4.9)

,, - проекции вектора мгновенной скорости на соответствующие координатные оси или ее компоненты.

Из формулы (4.9.)следует: компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

Зная модуль скорости в каждый момент времени, можно вычислить путь, пройденный МТ (частицей) за промежуток времени Δt=t₂-t₁. Разобьем этот промежуток времени на N малых промежутков, обозначим, ti- модуль скорости и время i -го участка, i пробегает значения от 1 до N. Тогда:

(4.10)

а весь пройденный путь:

(4.11)

Если Dt®0, то:

(4.12)

В математике выражение вида (4.13):

(4.13)

составленное для значений x, заключенных в пределах от x₁=a до x₂=b называют определенным интегралом от функции f(x) взятым по переменной x между нижним x₁=a и верхним x₂=b пределами.

Тогда длину пройденного пути можно представить так:

(4.14)

Определенный интеграл (4.14.) численно равен площади фигуры, ограниченной кривой V(t), осью t, и с боков прямыми: t=t_1, t=t₂.

Дата добавления: 2014-01-05