Алгебра Жегалкина и линейные функции

Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями называется алгеброй Жегалкина.

Замечание. Операция вполне аналогична операции конъюнкции (логического умножения). Однако операция имеет совершенно другой математический смысл, чем дизъюнкция. Поэтому никак нельзя считать алгебру Жегалкина иной формой записи булевой алгебры.

В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения (знак умножения опущен):

, , , .

(1) (2) (3) (4)

Кроме того, выполняются соотношения, ранее сформулированные булевой алгебры, относящиеся к конъюнкции и константам. Отрицание и дизъюнкция выражаются так:

5 , 6 .

(5) (6)

Если в произвольной формуле алгебры Жегалкина раскрыть скобки и произвести все упрощения по вышеуказанным соотношениям, то получится формула, имеющая вид суммы произведений, то есть полином (многочлен) по модулю 2. Такая формула называется полиномом Жегалкина для данной функции.

От булевой формулы всегда можно перейти к формуле алгебры Жегалкина, используя равенства (5) и (6), а также прямое следствие из равенства (6): если , то . Оно, в частности, позволяет заменять знак дизъюнкции знаком в случаях, когда исходная формула представляет собой СДНФ.

Дата добавления: 2014-01-05