КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 39. Натуральное число как результат измерения величины
План 1. Смысл натурального числа, полученного в результатеизмерения величины. Смыслсуммы и разности 2. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин 77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка. Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков». Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х1, х2 ,…, хn, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы. В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х1, х2 ,…, хn и пишут х = х1 Å х2 Å хя. Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е. Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины X данного отрезка при единице длины Е. Пишут: X = а Е или а = тЕ(Х). Например, отрезок х (рис: 120) состоит из 6 отрезков, Из данного определения получаем, что что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное. В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания: 1. При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е₁, (рис. 120), то мера длины отрезка х будет равна числу 3. Записать это можно так: X = 3 ∙ Е ₁ или mE (X) = 3. 2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у - из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны. Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру, Выясним теперь, какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей. Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z соответственно буквами X, Y и Z. Пусть m(Y)=a, m(Z)=b при единице длины Е. Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждая из которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбивается на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей. Значит, т(X) = a + b = m(Y) + m(Z). Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел aub можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа a u b. a + b= mE(Y)+mE(Z) = mE(Y + Z). Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач: «В саду собрали 7 кг смородины и З кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?» В задаче две величины - масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7 + 3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3, получим ответ на вопрос задачи, Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и г и длины Отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у. Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей. Из этой теоремы следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z Å у = х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b. a - b=mE(X)- mE(Y) = mE(X-Y). Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач, например, «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько кило-, граммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?» В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и массы капусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать численное значение массы картофеля. Так как массу картофеля можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то численное значение массы картофеля находят действием вычитания: 7-3. (Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи. При помощи сложения или вычитания решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?» В задаче речь идет о двух величинах - массе моркови и массе картофеля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови. Если построить вспомогательную модель задачи, то можно сразу увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови, и еще 2 кг, т.е. масса картофеля складывается из двух масс (З кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс слагаемых. Получаем выражение 3 + 2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 7561; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |