Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чи­сел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многознач­ных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение много­значных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столби­ком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возника­ет этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

х 428

263

+

856

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2568 под десятками, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 -»то результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на мно­гозначное, необходимо уметь:

умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чи­сел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4∙10² + 2∙10 + 8 и тогда 428∙3 = (4∙10² + 2∙10 + 8) ∙ З; На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4∙10²) ∙ З + (2∙10)∙ З + 8 ∙ З

Произведения в скобках могут быть найде­ны по таблице умножения однозначных чисел. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12∙10² + 6∙10 + 24 - коэф­фициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 • 10 + 2, а число 24 в виде 2•10 + 4. Затем раскроем скобки и на основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить х = х = a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 +... +а_1·10 + а_{0 ,}

на однозначное число у:

х ∙ у = (a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 +... +а_1·10 + а₀) ∙ у

причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведе­ния а_к ∙ у =b _к∙∙10 + с и получаем:

х ∙ у = (b_n ∙ 10 + с_n) ·10 ⁿ + (b _n-1∙10 + c _n-1·) ∙10 ^n-1 + … + (b₁ ∙10 + с₁) ·10 + (b_{0 ·}10 + с ₀) =

b_n ∙ 10 ⁿ + (с_n + b _n-1) ∙10 ⁿ + … + (с₁ + b₀ ) _· 10 + с ₀

По таблице сложения заменяем суммы ск + b к-1, где 0 £ к £ n и к: = 0, 1, 2,..., n, их значениями. Если, например, с ₀ одно­значно, то последняя цифра произведения равна с ₀. Если же с ₀ = 10 + m ₀, то последняя цифра равна m ₀, а к скобке (с₁ + b₀ ) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х ∙ у.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде ал­горитм умножения многозначного числа х = а_n а _n-1 …а₁ а₀ на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10 q₁ + c₀;, где c₀ – однозначное число; записываем c₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ - пере­нос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к по­лученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10 сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа к нулей. Покажем это. Умножим число)

х = a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 +... +а_1·10 + а₀ на 10:

(a_n ·10 ⁿ + a _n-1 ·10 ^n-1 +... +а_1·10 + а₀) × 10

Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа

а_n а _n-1 …а₁ а₀ 0…0, так как равно

a_n ·10 ⁿ⁺ + a _n-1 ·10 ^{n+ -1} +... + а_{0 ·} 10+ 0 × 10+ 0 × 10+…+ 0 × 10 + 0.

Например, 347 × 10 ³ ⁵⁴ = (3× 10 ² + 4 ×10 + 7) × 10 ³ = 3 × 10 ⁵ + 4 × 10 ⁴ + 7 × 10 ³ + 0 × 10 ² + 0 × 10 + 0 = 347000.

Заметим еще, что умножение на число у × 10, где у - однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10. Например, 52 × 300 = 52 × (3 × 10 ²) = (52× 3) = 156 × 10 ² = 15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428 × 263. Представим число 263 в виде суммы 2× 10 ² + 6 ×10 + 3 и запишем произведение 428 × (2× 10 ² + 6 ×10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 × (2× 10 ²) + 428 × (6 ×10) + 428 × 3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428 × 2) × 10 ² + (428 × 6) ×10 + 428 × 3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть х и у - многозначные числа, причем у

у = b·10 + b·10 +... + b_1·10 + b_{0 ,}

В силу дистрибутивности умножения относитель­но сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: х × у = (х · b·10 + b·10 +... + b_1·10 + b₀) =

(х · b) ·10 + (х · b) ·10 +... + (х · b₁) _· 10 + х · b₀. Последовательно умножая число х на однозначные числа b, b,..., b₁, b_{0 ,} а затем на степени 10,

получаем слагаемые, сумма которых равна х · у.

Сформулируем в общем виде алгоритм умножения числа х на число у.

1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд b₀ числа у и записываем произведение х · b₀ под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b₁ числа у и записыва­ем произведение х · b₁, но со сдвигом на один разряд влево, что соот­ветствует умножению х · b₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х · bк.

5. Полученные к + 1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенны­ми этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосно­вании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:

428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 = 400 × 3 + 20 × 3 + 8 × 3 = 1200 + 60 + 24 = 1284. Основой выполненных преобразований являются:

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Дата добавления: 2014-01-06