Признаки делимости

Лекция 45. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел

План:

1. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 25.

2. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел

3. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел.

Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2,3,4,5,9.

Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.

Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы до х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0,2,4,6,8.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₁· 10 + а₀, где а_n, а_n-1,…,a₁ принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а _n ≠0 и а ₀ принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х ^:.2.

Так как 10^:.2, то 10^{2 :}.2, 10^{3 :}.2,…,10 ^{n :}.2 и, значит, (а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а₁· 10) ^:.2. По условию а₀ тоже делится на 2, поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2. Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8.

Запишем равенство х = а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₁· 10 + а₀ в таком виде: а₀ = х - (а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₁· 10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а₀ ^: . 2, поскольку х ^: . 2 и (а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₁· 10)^: . 2. Чтобы однозначное число а₀ делилось на 2, оно должно принимать значения 0,2,4,6,8.

Теорема 12. (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 13. (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х. Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₁· 10 + а₀ и последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х^: . 4.

Так как 100^: . 4, то (а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₂· 10²) ^: . 4. По условию, а ₁ ·10 + а₀ (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, тo двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.

Запишем равенство х = а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₁· 10 + а₀ в таком виде: а₁· 10 + а₀ = х- (а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₂· 10²⁾. Так как х ^:. 4и а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₂· 10²) ^: . 4, то по теореме о делимости разности (а₁· 10 + а₀)^:. 4. Но выражение а₁· 10 + а₀ есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Например, число 157872 делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 72, которое делится на 4. Число 987641 не делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 41, которое не делится на 4.

Теорема 14 (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сум­ма цифр его десятичной записи делилось на 9.

Доказательство. Докажем сначала, что числа вида 10ⁿ - 1 делятся на 9. Действительно, 10ⁿ - 1 = (9·10^n-1 + 10^n-1) - 1 = (9·10^n-1 +9·10^n-2+ 10^n-2)-1 = (9·10^n-1 +9·10^n-2+ …+10)-1=9·10^n-1 +9·10^n-2+ …+9. Каждое слагаемое полученной сум­мы делится на 9, значит, и число 10ⁿ- 1 делится на 9.

Пусть число х = а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а₁· 10 + а₀ и
(a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ )^:. 9. Докажем, что тогда х^:. 9.

Преобразуем сумму а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а₁· 10 + а₀, при­бавив и вычтя из нее выражение a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ и записав результат в таком виде: х = (а _n·10 - a _n)+(а_n-1 ·10^n-1 - a _n-1 )+…+(а₁· 10 - a ₁ )+ (а₀ – а ₀ )+ (a _n+a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ )= а _n·(10ⁿ -1)+ a _n-1 ·(10^n-1 -1)+…+ a ₁·(10 -1)+ (a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ ).

В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:

а _n·(10ⁿ -1)^:. 9, так как (10ⁿ -1) ^:. 9,

a _n-1 ·(10^n-1 -1)^:. 9,так как(10^n-1 -1)^:. 9 и т.д.

a ₁·(10 -1)^:. 9, так как (10- 1)^:. 9,

(a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ )^:. 9 по условию.

Следовательно, х^:. 9.

Докажем обратное, т.е. если х^:. 9, то сумма цифр его Деся­тичной записи делится на 9.

Равенство х = а _n·10 + а_n-1 ·10^n-1 +... + а ₁· 10 + а₀ запи­шем в таком виде: a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ = х - (а_n(10ⁿ - 1) + а_n-1·(10^n-1 -1) +…+ a ₁·(10 -1). Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ )^:. 9, т.е. сумма цифр десятичной записи числа x делится на 9, что и требовалось доказать.

Например, число 34578 делится на 9, так как сумма его цифр, равная 27, делится на 9. Число 130542 не делится 9, так как сумма его цифр, равная 15, не делится на 9.

Теорема 15 (признак делимости на 3). Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сум­ма цифр его десятичной записи делилось на 3.

Доказательство этого утверждения аналогично доказа­тельству признака делимости на 9.

Упражнения

1. Выпишите из ряда чисел 132, 1050, 1114, 364, 12000 те, которые:

а) делятся на 2;

б) делятся на 4;

в) делятся на 2 и не делятся на 4;

г) делятся и на 2 и на 4.

2. Верно ли утверждение:

а) Для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4?

б) Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы
оно делилось на 4?

3. Из ряда чисел 72,312,522,483,1197 выпишите те, которые:

а) делятся на 3;

б) делятся на 9;

в) делятся на 3 и не делятся на 9;

г) делятся и на 3 и на 9.

Сделайте вывод о взаимосвязи делимости на 3 и на 9. До­кажите его.

4. Докажите признаки делимости на 5 и на 3.

5. Сформулируйте признак делимости на 25 и докажите его.

6. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выражения на 4:

а) 284 + 1440 + 113; в) 284 + 1441+ 113;

б) 284+ 1440 + 792224; г) 284+ 1441 + 113+ 164.

7. Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9.

а) 360- 144; 6) 946-540; в) 30240-97.

Дата добавления: 2014-01-06