КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Множества натуральных чисел
Множество положительных рациональных чисел как расширение
Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел являюсь расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий. Первое условие - это существование между N и Q+ отношения включения. Докажем, что N Ì Q+. Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным числом m. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке Х точно mп раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом m, и положительным рациональным числом . Но это должно п быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида являются записями натурального числа m. Следовательно, N Ì Q+. Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: 6/1 12/2, 18/3 24/4, 30/5 и т.д.
Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 129. Рисунок 129.
Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными. Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется. Пусть а и b - натуральные числа, а + b - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q+. Так как а = , b = , то += = а + b Убедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично.
Третье условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это выполнимость в Q+ операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q+ выполняется всегда. Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами. 1. Черту в записи дроби — можно рассматривать как знак деления. Действительно, возьмем два натуральных числа m и n и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел: m: n = := = . Обратно, если дана дробь , то ее можно рассматривать как частое натуральных чисел m и n: ==:= m: n. 2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби. Пусть - неправильная дробь. Тогда m > n. Если m кратно n, то в этом случае дробь является записью натурального числа. Если число m не кратно n, то разделим m на n с остатком: m = nq + r, где r < n. Подставим nq + r вместо m в запись и применим правило (1) сложения положительных рациональных чисел: = =+= q + .
Так как r < n, то дробь - правильная. Следовательно, неправильная дробь — оказалась представленной в виде суммы натурального числа q и правильной дроби . Это действие называется выделением целой части из неправильной дроби. Например, ==+=3+. Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо 3 + пишут 3и называют такую запись смешанной дробью. Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например: 3=3+=+==.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 411; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |