Площадь многоугольника

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Упражнения

1. Площадь фигуры F равна сумме площадей фигур F1 и F2. Значит ли это, что фигура F составлена из фигур F1 и F2.

2. Два треугольника имеют равные площади. Следует ли из этого, что они равны?

3. Известно, что S(F1) > S(F2). Следует ли отсюда, что F2 ⊂ F1.

4. Верно ли, что:

а) Численные значения площади одной и той же фигуры могут быть различными?

б) Численные значения неравных фигур могут быть равными?

в) Равновеликие фигуры равны?

5. Известно, что площадь фигуры 34,78 см². Каким будет численное значение площади этой фигуры, если измерить ее в квадратных деци­метрах?

Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольни­ка, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосно­вывают, исходя из определения площади, при этом численное значе­ние площади называют площадью, а численное значение длины от­резка - длиной.

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.

Напомним, что слово «площадь» в этой формулировке означает численное значение площади, а слово «длина» - численное значение длины отрезка.

Доказательство. Если F - данный прямоугольник, а числа а, b- длины его сторон, то S(F) = а·b. Докажем это.

Пусть а и b - натуральные числа. Тогда прямо­угольник F можно разбить на единичные квадраты (рис. 3): F = Е ⊕ Е ⊕ Е ⊕ ... ⊕ Е. Всего их а·b, так как имеем b рядов, в каждом из которых а квадратов. Отсюда

S(F) = S(Е) + S(Е)+… + S(Е) = а·b·S(Е)= а·b.

а·b слаг. 1

Пусть теперь а и b - положительные рациональные числа: а=m/n, b=p/q, где т, п, р, q - натуральные числа.

Приведем данные дроби к общему знаменателю: а= mq/nq, b=np/pq

Разобьем сторону единичного квадрата Е на пq равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат Е разделится на (пq)^г более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата Е1. Тогда S(Е) = (пq)^г S(Е1), а поскольку S(Е) = 1, то

S(Е1)= 1/(пq)^г.

Так как а= mq/nq, b=np/pq, то отрезок длиной 1/nq укладывается на стороне а точно mq раз, а на стороне b – точно np раз. Поэтому данный прямоугольник F будет состоять из mq·np квадратов Е1. Следовательно,

S(F) = mq·np· S(Е1) = mq·np(1/(пq)^г = (mq·np)/(np·np)=m/p· p/q= а·b.

Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами а и b, то пло­щадь этого прямоугольника вычисляется по формуле S(F) = а·b.

Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются поло­жительными действительными числами, мы опускаем.

Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного тре­угольника равна половине произведения его катетов.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство. Пусть АВСD - параллелограмм, не являю­щийся прямоугольником (рис. 4). Опустим перпендикуляр СЕ из вершины С на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) = S (АВСD) + S (СDЕ).

Опустим перпендикуляр ВF из вершины В на прямую АD. Тогда S (АВСЕ) = S (ВСЕF) + S (АВF).

Так как треугольники АВF и СDЕ равны, то равны и их площади.

Отсюда следует, что S (АВСD) = S (ВСЕF), т.е. площадь параллелограмма АВСD равна пло­щади прямоугольника ВСЕF и равна ВС·ВР, а так как ВС = АD, то S (АВС) = АD ·ВF.

Из этой теоремы вытекает следствие: пло­щадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой Р, радиус вписанной окружности – r, а площадь правильного многоугольника – S, то, согласно данной теореме, S = 1/2· P· s.

Доказательство. Пусть АВСВ - параллелограмм, не являю­щийся прямоугольником (см. рис.). Опустим перпендикуляр СЕ из вершины С на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) = S (АВСD) + S (СDЕ).

Опустим перпендикуляр ВF из вершины В на прямую АВ.

Тогда S (АВСЕ)= S(ВСЕF) + S (АВF).

Так как треугольники АВF и СDЕ равны, то равны и их площади.

Отсюда следует, что S (АВСD) = S (ВСЕF), т.е. площадь параллелограмма АВСD равна пло­щади прямоугольника ВСЕF и равна ВС · ВF, а так как ВС = АD, то S (АВСD) = АD · ВF.

В С

Из этой теоремы вытекает следствие: пло­щадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

А F D E

Заметим, что слова «сторона» и «высота» обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.

Теорема: Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой Р, радиус вписанной окружности – r, а площадь – S, то, согласно данной теореме, S = • Р• r.

Доказательство. Разобьем правильный n-угольник на n треугольников, соединяя отрезками вершины n-угольника с центром вписанной окружности. Эти треугольники равны. Площадь каждого из них равна • а• r,

 

где a - сторона правильного многоугольника.

Тогда площадь многоугольника равна • а• r•n, но а•n = Р. Следовательно, S = • Р• r.

Если F - произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади). В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольникпо - разному разбить на части и найти их площади, то будут ли получен­ные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказа­но, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.

Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматри­вают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойст­ва фигур.

Многоугольники F₁ и F₂ называются равносоставленными, еслиих можно разбить на соответственно равные части.

Например, равносоставлены параллелограмм АВСD и прямоуголь­ник FВСЕ, так как параллелограмм состоит из фигур F₁ и F₂, а прямоугольник - из фигур F₂ и F₃, причем F₁ = F₂.

Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равно­велики.

Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем мате­матики П.Гервином была доказана теорема: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Другими словами, если два много­угольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.

Теорема Бойяи-Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.

Доказательство сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равновеликий ему прямоугольник.

В

Р К Т L M

А D C

Пусть дан треугольник АВС. Проведем в нем высоту DВ и среднюю линию КL. Построим прямоугольник, одной стороной которого является АС, а другая лежит на прямой КL. Так как пары треугольников АРК и КВТ, а также СLМ и ТВL равны, то треугольник АВС и прямоугольник АРМС равносоставлены.

Дата добавления: 2014-01-06