Плоская система произвольно расположеннных сил

Тема 5.

Пара сил.

Две силы, лежащие в одной плоскости, равные по модулю и противоположные по направлению, называют парой сил или просто парой. Плоскость, в которой расположена пара, называют плоскостью действия пары. Расстояние между линиями действия – плечо пары. Эффект действия пары состоит в том, что она стремится вращать тело, к которому приложена. Ее вращающее действие определяется моментом пары.

Моментом пары называется произведение модуля одной из сил, составляющих пару, на плечо:

M (P₁, P₂) = P₁ * h = P₂ * h.

Момент пары и момент силы имеют одинаковую размерность. Момент пары считается положительным, если она стремится вращать свое плечо против часовой стрелки, и наоборот.

Основные свойства пары

Пара сил не имеет равнодействующей, а значит, не может быть уравновешена одной силой; пара сил может быть уравновешена только парой.

1) Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости действия пары есть величина постоянная, равная моменту пары. При любом центре моментов пара сил войдет в уравнение моментов с одним и тем же знаком и одной и той же величиной.

2) Алгебраическая сумма проекций сил пары на ось всегда равна нулю, т. е. пара сил не входит ни в уравнение моментов сил, ни в уравнение проекций сил.

Две пары называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния свободного твердого тела. Если моменты двух пар алгебраически равны, то эти пары эквивалентны. Кроме того:

1) не изменяя механического состояния тела, пару можно перемещать как угодно в плоскости ее действия;

2) не изменяя механического состояния тела, можно менять силы и плечо пары, но так, чтобы ее момент оставался неизменным;

3) чтобы задать пару, достаточно задать ее момент, поэтому иногда слово «пара» заменяют словом «момент» и условно изображают следующим образом:

m

4) для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар равнялась нулю:

m = ∑m_i = 0.

Плоской системой произвольно расположенных сил называется система сил, расположенных в одной плоскости, линии действия которой не имеют общей точки пересечения.

Плоская система произвольно расположенных сил в общем случае эквивалентна одной паре, приложенной в центре приведения, и одной паре. Пусть дана плоская система n произвольно расположенных сил Р_1, Р_2, Р₃, … Р_n. Перенесем параллельно все силы в произвольно выбранный в плоскости действия сил центр приведения О, добавив при этом пары сил (моменты этих пар М₁, М₂, М₃, …, М_n равны моментам данных сил относительно центра приведения О). Вместо заданной системы произвольно расположенных сил получили систему n сил, приложенных в центре приведения, равных данными силами по модулю и одинаковых с ним по направлению, и систему n присоединенных пар.

P₁ = P_1

Эта новая система сил эквивалентна данной.

Плоская система сил, приложенных в данной точке, эквивалентна одной силе, которая равна векторной сумме этих сил и приложена в той же точке, следовательно,

R = åP_i.

Эта сила называется главным вектором данной системы. Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения. Графически главный вектор выражается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на данных силах. Аналитически модуль главного вектора можно вычислить по формуле

R=ÖR_x² + R_y² = Ö(åX)² + (åY)².

Плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар, следовательно,

М = М₁ + М₂ + М₃ +… +М_n = М(Р₁) + М(Р₂) + М(Р₃) +…+М(Р_n),

или М = å М (Р_i).

Эта пара с моментом М называется главным моментом заданной системы сил. Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

Таким образом, всякая плоская система сил в общем случае эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил. Операция замены системы сил главным вектором и главным моментом называется приведением системы сил к данному центру.

Теорема. Момент равнодействующей силы относительно какой-либо точки, расположенной в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Терему о моменте равнодействующей впервые доказал французский ученый Вариньон (1654 - 1722), поэтому ее называют теоремой Вариньона.

Изучив свойства главного вектора и главного момента, можно выявить частные случаи приведения плоской системы произвольно расположенных сил:

1. R ¹ 0, М ¹ 0, т. е. главный вектор и главный момент не равны нулю. В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, которая равна по модулю главному вектору, параллельна ему, направлена в ту же сторону, но по другой линии действия.

2. R ¹ 0, М = 0. В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения и совпадает с главным вектором.

3. R = 0, М ¹ 0. В этом случае система эквивалентна паре. Так как модуль и направление главного вектора во всех случаях не зависят от выбора центра приведения, то в рассматриваемом случае величина и знак главного момента тоже не зависят от центра приведения.

4. R = 0, М = 0. В этом случае система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии.›

Аналитические условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил.

Плоская система произвольно расположенных сил находится в равновесии, когда и главный момент и главный вектор равны нулю:

R = 0, М = 0.

Но R = åР_i и равенство R = 0 означает, что силовой многоугольник, построенный на силах данной системы, должен быть замкнут, следовательно, алгебраическая сумма проекций сил на каждую из двух координатных осей должна равняться нулю, т. е.

åX = 0, åY = 0.

Главный момент М = åМ(Р_i) и равенство М = 0 означает, что алгебраическая сумма моментов мил данной системы относительно любого центра приведения равняется нулю, следовательно,

åМ(Р_i) = 0.

Итак, для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат x и y равнялись нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно этих сил относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

Условия равновесия упрощенно запишутся в виде равенств

åX = 0, åY = 0, åM = 0.

При решении некоторых задач бывает целесообразно вместо одного или двух уравнений проекций составлять уравнения моментов. Если заменить одно уравнение проекций, то условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил будет выглядеть так:

åX = 0, åМ_А = 0, åМ_В = 0.

Следует отметить, что эти условия являются недостаточными для равновесия, когда центры моментов А и В лежат на одном перпендикуляре к оси x, в этом случае даже при выполнении указанных условий система сил может иметь равнодействующую, проходящую через эти точки, и, следовательно, не быть в равновесии.

Если заменить два уравнения проекций, то условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил будет выглядеть так:

åМ_А = 0, åМ_В = 0, åМ_С = 0.

Однако эти условия становятся недостаточными для равновесия, когда центры моментов А, В и С лежат на одной прямой; в этом случае даже при выполнении указанных условий система сил может иметь равнодействующую, проходящую через эти точки, и, следовательно, не быть в равновесии.

При решении задач статики аналитическим способом целесообразно составлять уравнения равновесия так, чтобы в каждом из них была только одна неизвестная величина. Во многих случаях этого можно достигнуть, если рационально выбрать оси координат и центры моментов

РАЗДЕЛ 2 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ГЛАВА 1.

1.Общие понятия.

Дата добавления: 2014-01-06