Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

Читайте также:
  1. Def.Число ребер гиперграфа, инцидентных данной вершине называют степенью вершины.
  2. Ed и eППП иногда нормируются не на число гамма-квантов, попавших в детектор, а на число гамма-квантов, вылетевших из источника g- квантов.
  3. А- число протонов + нейтронов ( или атомная масса ) Z- числопротонов ( равно числу электронов ).
  4. В позиційній системі числення значення кожної цифри змінюється із зміною її положення (позиції) в послідовності цифр, що зображають число.
  5. В узком смысле «Эллинизм» означает «уподобление эллинам», иными словами - соответствие греческим нормам, образцам.
  6. Ввод числовых значений
  7. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания.
  8. Время – это всеобщая, объективная форма существования материи, характеризующаяся длительностью, одномерностью, асимметричностью, необратимостью и последовательностью.
  9. Вставьте пропущенные буквы. Назовите начальную форму глагола, вид, переходность, возвратность, наклонение, время, число, лицо, спряжение.
  10. Выбор числового критерия оптимизации
  11. Выборочных значений числовых характеристик.
  12. Выбрать наименьший не вычеркнутый элемент и вычесть его из каждого не вычеркнутого элемента. Прибавить этот элемент к каждому элементу на пересечении прямых. Перейти к п.4.

С IV-V вв. нашей эры буква c , ранее обозначавшая звук [k], стала в некоторых позициях читаться как [ts].

Латинские согласные

Сейчас существуют два способа чтения буквы с - "классическое" (во всех случаях как - к), и "средневековое" (перед е, i , j , у, ае, ое - как русская буква ц; в иных случаях, перед согласными и в конце слова -как русская к). В России чаще употребляется второе чтение.

S - между гласными читается как "з ", в остальных случаях как "с ": rosa - роза, solus (солюс) - один.

L - принято читать мягко, как "ль".

Q , q - употребляется только в сочетании qu , которое читается как "кв ". Иногда так же читается и сочетание cu (i ): aqua (аква) - вода, cuique (квиквэ) - каждому.

Сочетание su иногда также читается как "ев": svadeo (свадэо) - советую, suesco (свэско) - привыкаю.

Ti - перед гласными смягчается в "ци": ratio (рацио) - разум, initium (шшциум) - начало.

Однако в сочетаниях sti , xti , tti , sta , sto этого не происходит: Constituo (конституо) - постановлять, учреждать, bestia (бестиа) -зверь, mixtio (микстио) - смешение, Attica (аттика) - Аттика, consto (консто) - состоять, заключаться

x1, х2, …, хn = {xn}

 

Общий элементпоследовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

 

Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

{xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

 

Для последовательностей можно определить следующие операции:

 

1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3) Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4) Частное последовательностей: при {yn} ¹ 0.

 

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

 

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

 

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

 

xn £ M.

 

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

 

xn ³ M

 



Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

 

 

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.

 

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

 

Пример. Предел последовательности lim .

 

Пример. При n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

 

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

 

Теорема. Если xn ® a, то .

 

Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

 

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

 

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

 

 

Монотонные последовательности.

 

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

 

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

 

Пример. Последовательность {xn}=монотонная возрастающая.

 

Пример. Последовательность {xn} = монотонно убывает.

 

 

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

 

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

Число е.

 

Рассмотрим последовательность {xn} = .

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

 

Предел функции в точке.

 

y f(x)

 

 

A + e

A

A - e

 

0 a - D a a + D x

 

 

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

 

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

 

0 < ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

 

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

 

Запись предела функции в точке:

 

Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

 

у

f(x)

 

А2

 

А1

 

0 a x

 

 

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

 

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

 

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:

 

 

Графически можно представить:

 
 


y y

 

 

A A

 

0 0

x x

 

 

y y

 
 

 


A A

 

0 0

x x

 

Аналогично можно определить пределы для любого х>M и

для любого х<M.

 

 

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.

 

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

 

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

 

Теорема 3.

Следствие.

 

Теорема 4. при

 

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

 

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

 

Определение. Функция f(x) называется ограниченнойвблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

 

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

 

Бесконечно малые функции.

 

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

 

Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

 

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

 

Свойства бесконечно малых функций:

 

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 78; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. Def.Число ребер гиперграфа, инцидентных данной вершине называют степенью вершины.
  2. Ed и eППП иногда нормируются не на число гамма-квантов, попавших в детектор, а на число гамма-квантов, вылетевших из источника g- квантов.
  3. А- число протонов + нейтронов ( или атомная масса ) Z- числопротонов ( равно числу электронов ).
  4. В позиційній системі числення значення кожної цифри змінюється із зміною її положення (позиції) в послідовності цифр, що зображають число.
  5. В узком смысле «Эллинизм» означает «уподобление эллинам», иными словами - соответствие греческим нормам, образцам.
  6. Ввод числовых значений
  7. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания.
  8. Время – это всеобщая, объективная форма существования материи, характеризующаяся длительностью, одномерностью, асимметричностью, необратимостью и последовательностью.
  9. Вставьте пропущенные буквы. Назовите начальную форму глагола, вид, переходность, возвратность, наклонение, время, число, лицо, спряжение.
  10. Выбор числового критерия оптимизации
  11. Выборочных значений числовых характеристик.
  12. Выбрать наименьший не вычеркнутый элемент и вычесть его из каждого не вычеркнутого элемента. Прибавить этот элемент к каждому элементу на пересечении прямых. Перейти к п.4.




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.225.16.10
Генерация страницы за: 0.018 сек.