Одноместные отношения

Отношения

Если область определения отправления и область прибытия соответствия совпадают, то соответствие называют отношением или преобразованием. Таким образом, отношение определяет взаимосвязи между элементами одного и того же множества.

Определение. Любое подмножество Q Í Aⁿ называется n -местным (n -мерным, n -арным) отношением на множестве А. Говорят, что элементы a ₁, …, a _n находятся в отношении Q, если кортеж < a ₁, …, a _n> Í Q.

Если говорить более строго, то отношение есть двойка (совокупность двух множеств) < A, Q >, где A – множество, на котором определено отношение, Q Í Aⁿ – закон, по которому устанавливается соответствие между элементами множества. Однако поскольку Q – это множество кортежей, описывающих данное соответствие, то часто под отношением понимают само множество Q.

Одноместное (одномерное) отношение – это просто некоторое подмножество А, поскольку A ¹= A. Такие отношения называют признаками. Говорят, что a обладает признаком Q, если a Î Q и Q Î A. Вот несколько примеров одноместных отношений на множестве:

Пример 1. Имеется множество областных центров Украины. На данном множестве нужно определить отношение «областной центр, название которого начинается с гласной буквы».

Понятно, что в данном случае областные центры рассматриваются не группами по два или по три, а каждый в отдельности. То есть в данной задаче мы имеем дело с одноместным отношением (или признаком). Сформируем его:

Q = {<Ивано-Франковск>, <Одесса>, <Ужгород>}.

Здесь каждый кортеж имеет единственную компоненту, которая соответствует одному элементу заданного множества.

Пример 2. Задано множество целых чисел от 1 до 100. Определить на нем отношение «является квадратом целого числа».

Каждый элемент множества в данном случае рассматривается сам по себе, без связи с другими элементами. Следовательно, наше отношение является одноместным (т.е. признаком) и выполняется для следующих кортежей:

Q = {<1>, <4>, <9>, <16>, <25>, <36>, <49>, <64>, <81>, <100>}.

Пример 3. Имеется множество учебных заведений:

A = {школа, институт, техникум, ПТУ, университет, академия, лицей}.

Требуется определить на множестве A отношение «является высшим учебным заведением».

Понятно, что данное отношение является одноместным (признаком) и выполняется для следующих кортежей:

Q = {<институт>, <университет>, <академия>}.

Как видно из примеров, одноместные отношения – это подмножества множества А, поэтому для случая n =1 термин «отношение» употребляется редко.

Дата добавления: 2014-01-06