План эксперимента

План эксперимента – выбор и предварительная подготовка совокупности данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям.

Точка плана – упорядоченная совокупность численных значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта, то есть точка факторного пространства, в которой проводится эксперимент.

Точке плана с номером i соответствует вектор строка:

.

Общая совокупность таких векторов , где образует план эксперимента. Совокупность различных векторов (в общем случае N) образует спектр плана.

В активном эксперименте факторы могут принимать только фиксированные значения. Количество принимаемых уровней факторов зависит от выбранной структуры факторной модели и принятого плана эксперимента.

Минимальный и максимальный , (где n- число факторов) уровни всех факторов выделяют в факторном пространстве параллелепипед, который называется областью планирования. В области планирования находятся все возможные значения факторов, используемые в эксперименте.

Вектор задает точку центра области планирования. Координаты этой точки выбираются из соотношения:

.

Центр эксперимента определяет основной уровень факторов . Центр эксперимента необходимо выбрать как можно ближе к точке, которая соответствует искомым оптимальным значениям факторов. Для этого используется априорная информация об объекте.

Интервалом (или шагом) варьирования фактора называют величину, вычисляемую как:

,

где .

Факторы нормируются, а их уровни кодируются. В кодированном виде верхний уровень обозначается +1, нижний –1, основной 0.

Нормирование факторов проводится в соответствии с:

.

Для переменных начало координат совмещено с центром эксперимента. В качестве единиц измерения используются интервалы варьирования факторов.

В геометрическом представлении это показано на рис. 89.

Рис. 89. Геометрическое представление области планирования при двух факторах

Например, значения факторов X₁ и X₂ в точке 1 равны соответственно X_1min и X_2min, а нормированные их значения: X_1min= -1, X_2min= -1.

План эксперимента удобно представлять в матричной форме. План эксперимента задается либо матрицей плана, либо матрицей спектра плана в совокупности с матрицей дублирования.

Матрица плана представляет собой прямоугольную таблицу, содержащую информацию о количестве и условиях проведения опытов. Строки матрицы плана соответствуют опытам, а столбцы – факторам.

Размерность матрицы плана L´n, L- число опытов, n- число факторов.

При построении повторных (дублирующих) опытов в одних и тех же точках плана матрица плана содержит ряд совпадающих строк.

Матрица спектра плана – это матрица, в которую входят только различающиеся между собой строки матрицы плана. Размерность матрицы спектра плана N´n, где N- число точек плана, различающихся между собой хотя бы одной координатой:

.

Матрица спектра плана:

,

где - вектор, определяющий нормированные значения координат точки плана в i-ом опыте;

- нормированное значение j-го фактора в i-ом опыте.

Матрица дублирования – квадратная диагональная матрица m, диагональные элементы которой равны числам параллельных опытов в соответствующих точках спектра плана:

.

Опыты при выполнении эксперимента проводятся в последовательности, предусмотренной матрицей плана. Эта матрица составляется только при необходимости рандомизации опытов, когда в результатах эксперимента можно ожидать наличие систематических ошибок.

Для выбора случайной последовательности опытов используется таблица равномерно распределенных случайных чисел. Первое число таблицы выбирают произвольно случайным образом. Затем, начиная с этого числа, выписывают L чисел таблицы (L – число опытов с учетом их дублирования). При этом числа, большие L, а также уже выписанные, отбрасываются.

В вычислительных экспериментах опыты проводятся в соответствии с матрицей спектра плана, так как априорно предполагается отсутствие систематических ошибок и отсутствует необходимость в рандомизации опытов.

Дата добавления: 2014-01-06