Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейные неравенства




Выпуклые множества

Некоторые сведения из математики

 

 

Предварительно дадим некоторые понятия, весьма важные для линейного программирования.

 

þ множество точек называется выпуклыми, если оно вместе с любыми двумя точками содержит отрезок, соединяющий эти точки. Простейшими примерами выпуклых множеств могут служить: отрезок, треугольник, квадрат, некоторые геометрические тела, например, пирамида, куб и т.д.

заметим, что выпуклый многоугольник обладает тем свойством, что весь расположен по одну сторону каждой из прямых, участвующих в ее образовании.

þ выпуклой линейной комбинацией точек М1, М2,... Мn называется любая точка М такая, что:

 

М=a1M1+a2M2 +... +anMn,

 

где ai ³ 0 и a1+a2+... +an=1.

 

þ Обобщая сказанное выше, можно сказать, что множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками оно содержит и выпуклую произвольную комбинацию этих точек. Поскольку произвольная точка отрезка представляет собой выпуклую комбинацию его концов, то это и означает, что выпуклое множество вместе с двумя данными точками содержит весь соединяющий их отрезок.

 

Очевидно, что всякая точка выпуклого многоугольника, лежащая внутри его или на одной из сторон, за исключением вершин, может быть представлена как выпуклая линейная комбинация других точек этого многоугольника. Напротив, вершины многоугольника не представляются в виде выпуклой комбинации двух каких-нибудь других точек. В этом смысле вершины многоугольника называют экстремальными точками.

 

þ прямая линия называется опорной, если она имеет с выпуклым многоугольником, по крайней мере, одну общую точку и весь многоугольник расположен по одну сторону от этой прямой. Через каждую из вершин многоугольника можно провести бесконечное множество опорных линий. В пространстве трех измерений, по аналогии с понятием опорной прямой вводится понятие опорной плоскости.

þ Опорной плоскостью называется всякая плоскость, имеющая с выпуклым многогранником, по крайней мере, одну общую точку, причем такую, что весь многогранник расположен по одну сторону от нее. Опорная плоскость может иметь с выпуклым многогранником общую точку (вершину многогранника), прямую (ребро), и, наконец, общую грань.

 

 

рассмотрим подробнее системы линейных неравенств и покажем, что решение их тесно связано с понятиями выпуклого многоугольника и выпуклого многогранника.

Для начала рассмотрим неравенство с одной переменной величиной x1, например x1<4. Если на плоскости провести прямую х1=4, то она разделит всю плоскость на две части - полуплоскости: в одной из них, а именно слева от прямой х1=4, лежат точки, абсциссы которых меньше 4, а справа от прямой - точки, абсциссы которых больше 4. Таким образом, неравенство x1<4 геометрически определяет полуплоскость (Рис.1). Рассмотрим теперь неравенство с двумя переменными типа 1+4х2 < 12. Построим прямую линию 1+4х2=12. Разделим обе части уравнения на 12:

 

 

 

из которого видно, что прямая отсекает по осям отрезки, равные 4 и 3.

Неравенство 1+4х2 < 12 определяет собой совокупность всех точек плоскости, лежащих ниже прямой, т.е. в заштрихованной части (Рис. 2).

 

Чтобы легче было понять, какую именно полуплоскость определяет то или иное неравенство, мы в левую часть неравенства подставим координаты начала координат, т.е. х1=0 и х2=0. Если неравенство удовлетворяется, то оно определяет ту полуплоскость, в которой лежит начало координат, в противном случае - другую полуплоскость. Пользуясь геометрическими соображениями, найти возможные решения системы:

 

ì3х1+4х2 £ 12

íx1< 2

îх1 > 0 и х2 > 0

 

Каждое из неравенств системы определяет полуплоскость, отмеченную на Рис.3 штрихами.

Полученный многоугольник является выпуклым, ибо вместе с любыми двумя точками содержит весь соединяющий их отрезок. таким образом, мы видим, что выпуклый многоугольник можно задать аналитически, с помощью системы линейных неравенств. Линейное уравнение с тремя переменными: a11x1+a12x2+a13x3=b1 определяет в пространстве некоторую плоскость, которая рассекает все пространство на два полупространства.

В связи с этим неравенство a11x1+a12x2+a13x3 £ b1 определяет одно из полупространств, к которому принадлежит также и сама граничная плоскость. В общем случае, когда система неравенств совместна, пространство решений образует некоторый выпуклый многогранник - многогранник решений. Частным случаем его могут быть: отдельная грань, ребро или точка. Последнее имеет место, когда система неравенств имеет одно единственное решение. Дальнейшие обобщения приводят нас к рассмотрению m линейных неравенств с n неизвестными. Каждое уравнение ai1x1+ai2x2+... +ainxn=bi является уравнением некоторой гиперплоскости в n -мерном пространстве, которая как бы рассекает все пространство на два полупространства.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 700; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.