Метод последовательного деления на основание

Метод непосредственного замещения

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Использование в ЭВМ двоичной системы счисления связано с преодолением дополнительных трудностей, вызванных необходимостью перевода вводимых в ЭВМ чисел в двоичную систему счисления и обратного перевода числовых данных при выводе информации из ЭВМ. Эти преобразования информации в ЭВМ осуществляются автоматически с использованием специально разработанных методов.

Пусть задано число А_(q) в q–ичной системе счисления. Требуется найти запись этого числа в р-ичной системе счисления, т.е. В_(р).

Перевод чисел этим методом выполняется следующим образом:

- заданное число А_(q) представляется в виде (3.1):

A_(q)=a_n-1´q^n-1+…+a₀´q⁰+a _–1´q^-1+…+a_-m´q^-m ;

- все цифры a_i и основание q в правой части записываются (замещаются) в системе счисления с новым основанием p и выполняются необходимые операции. При этом, если р>q, то изображение цифр в p-ичной системе совпадает с изображением чисел в q-ичной системе. Если же p<q, то необходимо знать представление чисел от p до q в системе счисления с основанием р.

Пример 3.8. Перевести число 357 ₍₈₎ в десятичную систему счисления.

Решение. 357₍₈₎=3´8²+5´8¹+7´8⁰=192+40+7=239₍₁₀₎.

Пример 3.9. Перевести число 13,5₍₁₀₎ в двоичную систему счисления.

Решение. 13,5₍₁₀₎=1´10¹+3´10⁰+5´10^-1=1´1010+11+101/1010=1101,1₍₂₎.

Этот метод используется для перевода только целых чисел.

Пусть число A_(q) требуется записать в р-ичной системе. Допустим, что такое представление получено и новое число В_(р) имеет вид:

A_(q) = B_(p) = b_n-1 b_n-2 … b₁ b_{0 (p)} = b_n-1´p^n-1 + b_n-2´p^n-2 + … + b₁ p¹ + b₀.

Разделим число A_(q) на р. Так как b₀<p, то в результате деления получим целую часть:

A₁ = b_n-1´p^n-2 + b_n-2´p^n-3 + … + b₁

и остаток b₀. Отсюда следует, что остаток от деления заданного числа на основаниe р равен значению цифры младшего разряда р-ичного числа. При этом, если p<q, то остаток является цифрой р-ичной системы счисления, а при p>q остаток представляет собой число в q-ичной системе счисления, которое соответствует цифре р-ичной системы (заметим, что деление должно выполняться в q-ичной системе счисления, т.е. в системе, в которой задано исходное число).

Чтобы найти цифру b₁ следует отбросить остаток b₀, a А₁ вновь разделить на р. Получим целую часть

А₂ = b_n-1´p^n-3 + … b₃´p + b₂

и остаток b₁, который равен значению цифры очередного разряда. Последовательное деление продолжается до тех пор, пока не получится частное, меньшее р. Это частное является цифрой старшего разряда искомого р-ичного числа.

Правило перевода. Чтобы перевести целое число из одной системы счисления в другую, необходимо последовательно делить это число и промежуточные частные на основание новой системы счисления, представленное в старой системе. Полученные остатки и последнее частное дадут искомое изображение р-ичного числа, причем первый остаток записывается в младший разряд, а последнее частное – в старший разряд числа.

Пример 3.10. Перевести десятичное число 38 в двоичную систему счисления.

Решение:

Ответ: B₍₂₎=b₅ b₄ b₃ b₂ b₁ b₀₍₂₎=100110₍₂₎.

Пример 3.11. Провести обратный перевод числа B₍₂₎=100110₍₂₎ в десятичную систему счисления.

Решение: Сначала новое основание системы счисления представим в двоичной системе: 10₍₁₀₎=1010₍₂₎. Далее делим число 100110₍₂₎ на основание 1010₍₂₎.

100110

1010

10010

1010

Ответ: 100110₍₂₎=b₁b_{0 (10)} = 38₍₁₀₎.

Дата добавления: 2014-01-06