Язык алгебры логики

Булева алгебра логики.

Алгебра логики.

Алгебра логики - раздел матлогики на основе математических методов, изучающих логические операции над высказываниями.

Булева алгебра - частный случай алгебры логики.

¦: B^n® B, B={0,1};

Ú: B^2® B, Ù: B^2® B, ù: B® B

A=‹M,W ›, M¹ Æ, W ={f_jⁱ}, i,jÎ N f_jⁱ: M^j® M.

A=‹B_(u), È, Ç,` ›

A=‹B_(U),Ú, Ù, ù ›

Алгебра логики - множество высказываний и операций - одной унарной и 4 бинарных:

А₁ =‹b, {ù, Ù, Ú, ®, ~}›

ù: {0,1}® {0,1} - отрицание

Ù: {0,1}^2® {0,1}-конъюнкция (лог. умножение) – "и"

Ú: {0,1}^2® {0,1}- дизъюнкция (лог. сложение) - "или"

a ₁ ={a: A^* ; A½ ^G2¾ 2}

A= { x, y, z…x₁ , y_1, z₁ ,…..,……,Ú, Ù, ù, (,) }

G₂=‹T=A, H, J, P› -правило синтаксиса (Т- терминальные символы, Н- нетерминальные)

Среди порождающих процедур используют разного рода грамматики:

a Î А^* = А È А² È ….È Аⁿ

А^* - итерация – объединение символов афавита

синтаксис

R = S È S _{2 È} P₂

семантика

P = {J(JÚ J), J® (JÚ J), J® (ù J), J® S, J® x(y, z,..)}

Для инженера ВТ алгебра логики (ВТ – алгебра переключательных схем или комбинационная логика) является системой алгебраических методов решения логических задач, а также совокупных задач, решаемых такими методами; для ВТ - это инструмент синтеза комбинационных схем, являющихся частным случаем конечных????, элементной базой которого является либо функциональные элементы,

либо реле различного способа действия

Предметом двузначной алгебры логики явл. однородные двузначные логические и операции над ними, а также вытекающие из их свойств правила преобразования

(упрощение, минимизация) с целью алгоритмизации решения задач.

В алгебре логики высказывания рассматриваются только с точки зрения истинности или ложности без рассматривания их смысла.

Примеры (задачи для самостоятельного решения):

1. Задача Венна.

В уставе клуба записано:

o финансовый комитет избирается из состава членов общего комитета

o никто не может быть одновременно членом и общего, и библиотечного комитета, если только он не состоит также и членом финансового комитета.

o никто из членов библиотечного комитета не может быть в финансовом комитете.

Упростить правила устава (до 2-х правил).

B, g, f- библиотечный, общий и финансовый комитеты.

® - "если, то"

Учтем, что x® y = xÚ y

Интерпретация выражения эквивалентна следующему:

§ члены финансово комитета избираются из членов общего

§ члены общего комитета не могут быть членами библиотечного

4. Выяснить, кто из детей разбил окно, если каждый из них сделал следующие заявления:

Ваня:

§ Я не виноват

§ Я не подходил к окну

§ Михаил знает, кто разбил окно

Павел:

§ Я не разбивал окно

§ Константин врет

§ Это сделал Михаил

Константин:

§ Окно разбил не я

§ С Михаилом я не дружу

§ Это сделал Павел

Михаил:

§ Моей вины здесь нет

§ Стекло разбил Виктор

§ За меня может поручиться Константин: мы с ним друзья

В дальнейшем Ваня, Павел, Костя и Миша признались, что одно из 3-х их заявлений является неверным (показание истинно, только если два заявления истинны, а одно ложно).

Решение

Замечание

4. Для построения логической теории используются формализованные языки (непустое множества алфавита, синтаксиса и семантики), которые являются средством познания мира и средством выражения мысли.

a = ‹ A, S₁, S₂› (A- символы алфавита, S₁- синтаксис, S₂- семантика).

5. В рамках формализированных языков строятся логические теории с помощью которых решаются логические задачи.

6. Во множестве формул языка выделяют класс формул- аксиомы (логич. закон, базис). Например, выражение

хÚ х = 1

7. Выделяют множество переходов, т.е. с помощью переходов от одной формулы к другой находят правильные умозаключения.

Дата добавления: 2014-01-06