Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Системы координат




Цилиндрическая и сферическая

 

Цилиндрические координаты являются обобщением полярных на случай трехмерного пространства.

Рассматривается координатная плоскость xOy с полюсом O и полярной осью Ox. Пусть M – произвольная точка пространства, а M 1 – ее проекция на плоскость xOy. Цилиндрическими координатами точки M называются три числа где – полярные координаты точки M 1, (рис. 14.4), или

 

 

Рис. 14.4

 

Прямоугольные координаты x, y, z точки M будут связаны с цилиндрическими формулами:

(14.12)

Сферическими координатами точки M называются три числа где – полярный угол точки M 1, а (рис. 14.5), или

 

 

Рис. 14.5

 

Прямоугольные координаты точки M связывают со сферическими формулами:

(14.13)

 

Пример 1. Найти цилиндрические координаты по их прямоугольным координатам, если

Решение. Используем рис. 14.4. Исходя из определения цилиндрических координат, имеем:

Точка имеет координаты Значит, Для нахождения удобно использовать с учетом четверти, в которой находится проекция A 1 точки A на плоскость xOy (рис. 14.6), а именно: I четверти, значит,

 

 

Рис. 14.6

 

Осталось добавить Таким образом, в цилиндрической системе координат .

Рассмотрим точку . Для наглядности изобразим ее проекцию B 1 на плоскость xOy (рис. 14.7).

 

Рис. 14.7

 

Очевидно, что остается добавить Таким образом, в цилиндрической системе координат

Точка имеет в плоскости xOy проекцию (рис. 14.8), для которой

 

Находим полярный угол

так как находится в IV четверти (рис. 14.8).

 

 

Рис. 14.8

 

Таким образом, в цилиндрической системе координат получаем

Точка имеет проекцией на плоскость xOy точку находящуюся в III четверти (рис. 14.9).

 

Рис. 14.9

 

Так как причем

Для нее

Итак,

 

Пример 2. Найти сферические координаты точек A (1, 1, 1), B (–4, 8, –1), C (–1, –2, –2) и D (–9, 0, 0).

Решение. Используем рис. 14.5. Сферические координаты точки M (x, y, z) выражаются через декартовы следующим образом:

φ – полярный угол проекции точки M на плоскости xOy. что позволит для его нахождения использовать формулу

где – единичный вектор оси Oz.

Рассмотрим точку A (1, 1, 1) и ее проекцию A 1(1, 1) на плоскость xOy (рис. 14.10).

 

Рис. 14.10

 

Для них поскольку лежит в I четверти, то или Таким образом, в сферической системе координат точка .

Для точки B (–4, 8, –1) имеем проек­ция B 1(–4, 8) на плоскость xOy определяется полярным углом (рис. 14.11).

 

 

Рис. 14.11

 

Получаем откуда Таким образом, в сферической системе координат

Прямоугольные координаты точки C (–1, –2, –2) и ее проекции C 1(–1, –2) на плоскость xOy (рис. 14.12) позволяют найти сферические координаты точки C:

 

Рис. 14.12

 

Таким образом, в сферической системе координат

Точка D (–9, 0, 0) и ее проекция D 1(–9, 0) на плоскость xOy приводят к сферическим координатам т. е. в сферической системе координат

 

Пример 3. Найти прямоугольные координаты точек A и B, если цилиндрические координаты точки а сферические координаты точки

Решение. Поскольку точка задана в цилиндрической системе координат, т. е. то прямоугольные координаты находим по формулам (14.12):

Итак, в прямоугольной декартовой системе координат .

Точка задана в сферической системе координат, что значит Для нахождения прямоугольных координат используем формулы (14.13):

Таким образом, в прямоугольной системе координат

.

 

Пример 4. Определить фигуры, заданные в цилиндрической системе координат соотношениями:

1) 2) 3)

Решение. 1) Для цилиндрической системы координат где x, y – декартовы координаты проекции (при переменном значении ). Условие означает, что если значит задан круговой цилиндр.

2) Условие в декартовых координатах означает Последнее условие определяет в пространстве внутреннюю область цилиндра с его границей – круговой цилиндрической поверхностью.

Уравнения и задают полуплоскости, которые образуют двугранный угол. Условие означает внутреннюю область двугранного угла. Система неравенств определяет пересечение внутренней области двугранного угла и замкнутой внутренней области цилиндра.

3) Заданное условие в декартовых координатах имеет вид:

 

Условие задает пересечение двух открытых полупространств. Одно представляет внешнюю область кругового цилиндра а второе – часть пространства, ограниченного сверху плоскостью

 

Пример 5. Фигуры заданы в прямоугольных координатах. Найти уравнения этих фигур в соответствующих цилиндрических координатах:

1) 2)

Решение. 1) Условие в пространстве определяет координатную плоскость yOz. Используя первую формулу из (14.12), имеем Получили уравнение координатной плоскости yOz в цилиндрических координатах.

2) Выделяя полный квадрат относительно z, приходим к уравнению Оно задает в пространстве сферу с центром (0, 0, – 1) и радиусом 2.

 

Пример 6. В прямоугольных координатах известны уравнения фигур:

1) 2)

Написать эти уравнения в сферических координатах.

Решение. 1) Запишем уравнение в виде или Тогда, учитывая, что имеем:

2) Поскольку то уравнение примет вид:

 

Задания

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 908; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.031 сек.