Первого порядка

Частные производные и дифференциал

Частной производной по переменной х функции в точке называется предел

(18.1)

если он существует.

Производную (18.1) обозначают также

Частной производной по переменной у функции в точке называется предел

(18.2)

если он существует.

Производную (18.2) обозначают также

Если частные производные определены на множестве и то они являются функциями двух переменных

Для функции трех переменных в случае их существования, аналогично определяют три частные производные

Полным приращением функции в точке называется разность

где – приращения аргументов.

Функция называется дифференцируемой в точке если полное приращение функции в этой точке можно представить в виде

(18.3)

где А, В – некоторые числа; – бесконечно малые при

Если функция дифференцируема в точке М ₀, то в формуле (18.3)

Главная часть полного приращения (формула (18.3)) дифференцируемой функции называется дифференциалом этой функции и обозначается dz:

(18.4)

Для независимых переменных х и у дифференциалы совпадают с их приращениями:

Дифференциал функции двух переменных вычисляется по формуле

(18.5)

Дифференциал функции трех переменных вычисляется по формуле

(18.6)

При достаточно малых и для функции , дифференцируемой в точке и ее окрестности, имеет место приближенное равенство

(18.7)

Для функции трех переменных (в случае дифференцируемости в точке М ₀ и малых приращениях независимых переменных) справедливо:

(18.8)

Задания

Дата добавления: 2014-01-06