Продольно-поперечный изгиб

Лекция 24

Рассмотрим шарнирно опертую по концам балку (рис.1), которая находится под действием поперечной нагрузки и централь­но приложенной силы Р.

Рис. 1

Допустим, что сначала действовала только поперечная нагрузка, которая вызвала изгиб балки. Обозначим через у₀ и М₀ прогиб и изгибающий мо­мент в любом сечении бал­ки и примем это состоя­ние за начальное.

Приложим теперь к стержню, имеющему предварительное начальное искривление, сжимающую силу Р, тогда балка изогнется еще больше и прогиб б каждом сечении увеличится на величину y₁. Полный прогиб ее в любом сечении

у = у₀ + у₁

Величина полного прогиба будет плечом для сжимающей силы Р, следовательно, в каждом сечении балки помимо момента М₀ от действия поперечной нагрузки появится момент М_г от силы Р:

М₁=Ру=Р(у₀+у₁). (1)

Обозначим кривизну балки от действия поперечной нагрузки через 1 /r₀. Так как сжимающая сила увеличивает изгиб балки, то общая кривизна балки от действия поперечной нагрузки и сжимаю­щей силы Р будет 1 /r. Значит, приращение кривизны, вызываемое сжимающей силой Р, составит

. (2)

Так как приращение кривизны вызвано изгибающим момен­том М₁, то кривизна 1 /r₁ и изгибающий момент М₁ оказываются связанными соотношением

. (3)

Выразим приращение кривизны через вторую производную от приращения прогиба у₁:

.

Подставив кривизну 1 /r₀ и изгибающий момент М₁ в формулу (3), получим

_.

Перенесем неизвестные в этом уравнении в левую часть и, обозначив k²=P/EJ, запишем дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба:

. (4)

Это уравнение полностью совпадает с уравнением, запи­санным для стержня, имеющего небольшое начальное искривление. Правая часть его у₀=у₀ (х) представляет собой изогнутую ось балки от действия поперечной нагрузки.

Таким образом, составлению дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба должен предшествовать расчет, в результате которого находится изогнутая ось балки от действия поперечной нагрузки.

Предположим, что изогнутая ось балки найдена. Тогда, под­ставляя выражение у₀=у₀ (х) в правую часть уравнения (4) и производя интегрирование, найдем приращение прогибов у₁ и изгибающих моментов М₁ в любом сечении балки от действия сжимающей силы. Складывая изгибающий момент М₁ от силы Р с изгибающим моментом М₀ от поперечной нагрузки, найдем пол­ный изгибающий момент в любом сечении стержня.

Решение задачи можно значительно упростить, если предста­вить изогнутую ось балки от поперечной нагрузки в силу ее поло­гости в виде полуволны синусоиды со стрелой, равной максималь­ному прогибу балки:

.

Предположим также, что дополнительные прогибы у в каждом сечении балки от действия сжимающей силы Р распределяются по закону синуса:

.

Подставляя принятые приближенные решения в уравнение (4), получим

.

Отсюда найдем стрелу прогиба f₁:

.

Это решение полностью совпадает с решением задачи о стержне, имеющем небольшое начальное искривление. Поэтому запишем сразу оконча­тельную формулу для вычисления полного прогиба в середине стержня:

. (5)

Изгибающий момент в любом сечении стержня от действия сжи­мающей силы Р определим по формуле

.

Проверка стержня на прочность производится по наибольшему изгибающему моменту. Для этого сначала найдем наибольший изгибающий момент М₀ от действия поперечной нагрузки и опре­делим сечение, в котором действует этот момент. Пусть это сечение будет х=с. Затем определим изгибающий момент М₁ в этом сечении от действия сжимающей силы Р:

.

Складывая эти моменты, найдем полный изгибающий момент в этом сечении

М = М₀+М₁.

При проверке на прочность нужно потребовать, чтобы напря­жения в крайних волокнах наиболее опасного сечения не превы­шали допускаемых:

.

Пример 1: Балка длиной l=4 м загружена в середине пролета вертикальной силой Р=10 кн и сжимается центрально приложен­ной силой P₁=150 кн (рис. 2). Подобрать сечение в виде дву­тавра, материал — Ст. 3.

Решение: Сначала подберем сечение из условия попереч­ного изгиба. Максимальный изгибающий момент в середине про­лета

Определим требуемый момент сопротивления:

По сортаменту нужно принять двутавр № 36. Однако, учитывая неблагоприятное влияние сжимающей силы, примем сечение с не­которым запасом: двутавр № 40,. F=71,4 см², J_у=666 см⁴, W_у==85,9 см³, i_y=3.05 см.

Рис.2.

Проверим подобранное сечение на устойчивость в плоскости наименьшей жесткости. Гибкость стержня

Выпишем значения коэффициентов j:

при l=130 j= 0,40;

при l= 140 j=0,35.

Вычислим значение j для Х= 131,1:

Допускаемая сжимающая сила

Так как сжимающая сила принята Р₁=150 кн, то устойчивость стержня обеспечена.

Проверим теперь фактические напряжения в крайних волокнах наиболее опасного сечения. Максимальный прогиб в середине стержня от поперечной нагрузки

Для того чтобы вычислить полный прогиб, найдем сначала величину критической силы

Полный прогиб в середине стержня

Вычислим дополнительный изгибающий момент от действия сжимающей силы:

Полный наибольший изгибающий момент и в середине стержня

М = М₀ + М₁=10+1,73=11,73 кн*м.

Определим наибольшие сжимающие напряжения:

Подобранное сечение удовлетворяет условию прочности.

Дата добавления: 2014-01-06