Общие сведения и определения

ЛЕКЦИЯ № 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

План

2.1. Общие сведения и основные определения

2.2. Отделение корней

2.3. Метод половинного деления

2.4. Метод простой итерации и его погрешность

2.5. Преобразование уравнения к итерационному виду

2.6. Решение уравнений методом простой итерации в пакете MATLAB

Наиболее общий вид нелинейного уравнения:

, (2.1)

где функция определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале [ a, b ].

Определение 2.1. Всякое число x Î[ a, b ], обращающее функцию F (x) в нуль, называется корнем уравнения (2.1).

Определение 2.2. Число x называется корнем k -ой кратности, если при x = x вместе с функцией F (x) равны нулю ее производные до (k -1)-го порядка включительно:

F (x) =F¢ (x) =…=F ^{( k-1 )}(x) =0. (2.2)

Определение 2.3. Однократный корень называется простым.

Определение 2.4. Уравнения F (x) = 0 и G (x) = 0 называются равносильными (эквивалентными), если множества решений данных уравнений совпадают.

Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Определение 2.5. Уравнение (2.1) называется алгебраическим, если функция является алгебраической.

Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме:

P_n (x) =a ₀ xⁿ + a ₁ x^n-1 +…+ a_n, (2.3)

где a ₀, a ₁,…, a_n - коэффициенты уравнения, x - неизвестное.

Из алгебры известно, что всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один вещественный или один комплексный корень.

Определение 2.6. Уравнение (2.1) называется трансцендентным, если функция F (x) не является алгебраической.

Определение 2.7. Решить уравнение (2.1) означает:

1) установить имеет ли уравнение корни;

2) определить число корней уравнения;

3) найти значения корней уравнения с заданной точностью.

Дата добавления: 2014-01-06