Теорема Эйлера

В B

A D A D

Жителям в те далекие времена, чтобы придать воскресному гулянию осмысленность, предлагалось выйдя из дома (на любом участке суши (А, В, С или D) пройти по всем мостам строго по одному разу и вернуться домой….

На втором рисунке этот корявый план нарисован в виде графа.

Следует отметить некоторые практические особенности теории графов. Слово граф однокоренное со словом графика. Поэтому не удивительно, что многие задачи теории графов представляются в виде специального рисунка – графа. Однако, это, как правило, возможно только для простейших вариантов задач. Рисовать графы для задач с сотнями вершин и тысячами дуг, если и возможно, то бессмысленно. Теряется главное преимущество рисунка – наглядность. Кроме того, сегодня при решении задач теории графов широко используется вычислительная техника, а для нее - решение задачи, заданной рисунком – одно из самых неудобных представлений, какие можно придумать. А наглядность компьютер понимает по-своему :-|

Граф G задается как совокупность двух сущностей: множества вершин Х и множества соединений – множества дуг или ребер.Г. G = <Г, Х>,

Графически это может выглядеть следующим образом:

m

b

e

x₅

j

x₄

Традиционная «аналитическая» запись для этого рисунка будет:

Г_x1 = {x₂} Г_x4 = {x₃, x₃}

Г_x2 = {x_2, x₃, x₄} Г_x5 = {x₂}

Г_x3 = Æ

Другой способ задания графа - с помощью матрицы инциденций.

	a	b	d	h	j	e	m
х1	-1
х2	+1		-1			-1	+1
х3			+1	-1
х4				+1	-1	+1
х5					+1		-1

Самый популярный вид матрицы для графов – матрица смежностей

	х1	х2	х3	х4	х5
х1
х2
х3
х4
х5

Граф с ненаправленными соединениями (ребрами) - неориентированный.

Граф с направленными стрелками (дугами) – ориентированный (орграф).

Мультиграф – граф, между вершинами которого может быть больше одной дуги.

В графах важно их топологическое свойство: то есть соединение определенных вершин. А само по себе взаиморасположение роли не играет, как и расстояния между объектами.

a b c a

a 1

3 1

c b c 3

1 2 3 2 b

2

Один и тот же граф.

Дуга может выходить из вершины или заходить в нее. Она будет соответственно называться исходящей или заходящей.

Путем в орграфе называется последовательность дуг, такая, что каждое следующее ребро исходит из вершины, в которую заходит предыдущее.

Длина пути измеряется числом пройденных дуг.

Путь, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же вершине - контур.

Контур длиной в единицу - петля.

Путь называется простым, если каждое из ребер встречается на этом пути один раз.

Путь называется элементарным, если любая вершина на этом пути один раз.

Дуга, исходящая (или заходящая) в вершину называется инцидентной данной вершине (и наоборот вершина инцидентна дуге).

Вершины инцидентные одной дуге называются смежными.

Полустепенью исхода вершины x - r^-(x) называется число исходящих из нее дуг

r^-(x₃) = 3.

Полустепенью захода вершины x - r⁺(x) называется число заходящих в нее дуг

r⁺(x₃) = 2.

r = r^-(x) + r⁺(x). - степень вершины х.

Теорема: В любом графе число вершин с нечетной степенью четно.

Доказательство исходит из того, что суммарная степень всех вершин – число четное (у каждой дуги 2 конца!). Если убрать степени всех четных вершин, то останется четное число суммарной степени нечетных вершин. А это возможно только если число вершин с нечетной степенью четно.

Теорема: В графе без петель, где вершин больше двух всегда найдется пара вершин с одинаковой степенью.

Доказательство заменим решением задачки «про шахматистов»:

Пусть среди n человек нет двух таких, кто сыграл бы одинаковое число партий в шахматном турнире. Тогда обязательно должно быть:

1-ый сыграл: 0 партий

2-ой сыграл: 1 партию

:

n-ый сыграл n-1 партий

т.е. из вершины n-го игрока исходит (n-1) стрелка, а в 0-ую не входит ни одна. Но этого не может быть.

Граф G_A = <Г_A, A> - называется подграфом графа G = <Г, X>, если A Í Х, Г_A Í Г.

Для неориентированных графов вместо дуги говорят ребро, вместо пути - цепь, вместо контура - цикл.

Граф называется связным (компонентом связности), если между любыми двумя вершинами есть цепь.

Цепь называется эйлеровой, если она является простой и проходит по всем ребрам графа.

Эйлеровым циклом называется простой цикл, проходящий по всем ребрам.

Граф, имеющий эйлеровый цикл, называется эйлеровым графом.

Теорема: Для того чтобы связный граф был эйлеровым необходимо и достаточно, чтобы степени всех вершин его были четными.

Доказательство: 1) Докажем необходимость.

Пусть есть вершина с нечетной степенью. Эта вершина не может быть первой

так как выходить и возвращаться в нее можно, используя четное число ребер. Нечетное ребро обусловит окончательный уход из этой вершины. Но эта вершина должна быть и последней, чтобы обеспечить цикл. Что не возможно.

Вершина с нечетной степенью не может быть и промежуточной, ибо в конечном итоге в этой вершине закончится цепь. Кроме ребра, по которому однажды в эту вершину зашли, останется четное число ребер, по которым будем уходить из вершины и обязательно в нее возвращаться.

Таким образом доказана необходимость того, чтобы все вершины были четными.

1) Докажем достаточность требования четности вершин.

Возьмем любой граф, содержащий только вершины четной степени.

Строим из любой вершины простой цикл. Если пройдены все ребра, то теорема доказана иначе

Строим для любой вершины в контуре простой цикл из свободных ребер и вставляем новый цикл в предыдущий. (То есть при обходе прерываем в соответствующей вершине первый цикл и проходим второй, закончив его в вершине, из которой вышли. И заканчиваем первый цикл).

Если таким образом пройдены все ребра графа, то теорема доказана. Иначе выбирается новая вершина, инцидентная непройденным ребрам (их четное число) и строится новый цикл. И так до исчерпания непройденных ребер графа.

Таким образом, теорема доказана. А, следовательно, решена и задача о Кенигсбергских мостах. Слово «решена» здесь используется в расширненном понимании, принятом в обиходе у математиков, поскольку Эйлер на самом-то деле доказал, что задача не имеет решения.

Следствие. Для того, чтобы в графе существовала Эйлерова цепь необходимо, чтобы в нем было ровно две вершины с нечетной степенью, причем эта цепь начинается в одной из этих вершин и заканчивается в другой.

Известная детская задача нарисовать, не отрывая карандаша, домик – лучшая иллюстрация к этому следствию.

Элементарный цикл, проходящий через все вершины, называется гамильтоновым циклом, а соответствующий граф – гамильтоновым графом.

Пример гамильнтонова графа

Однако, для гамильтоновых графов не удалось доказать красивой теоремы, наподобие теоремы Эйлера.

Дата добавления: 2014-01-06