Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Логические операции. Высказывания и высказывательные формы




Высказывания и высказывательные формы

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

 

 

Алгебра в широком смысле этого слова — наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться не только над числами, но и над другими математическими объектами.

Примеры алгебр: алгебра натуральных чисел, алгебра рациональных чисел, алгебра многочленов, алгебра векторов, алгебра матриц, алгебра множеств и т. д.

Объектами алгебры логики, или булевой алгебры, являются высказывания.

Высказывание — это любое предложение какого-либо языка (утверждение), содержание которого можно определить как истинное или ложное.

Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может.

Формулировка любой теоремы является высказыванием. Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков.

Из двух числовых выражений можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства. Сами числовые выражения высказываниями не являются. Например, предложение Х < 12 становится высказыванием при замене переменной каким-либо конкретным значением. Такие предложения называют высказывательными формами.

Примеры высказываний:

1) {Город Вашингтон — столица США} (истинное высказывание);

2) {Число 2 является делителем числа 7} (ложное высказывание);

3) {3 + 5 = 2 × 4} (истинное высказывание);

4) {2 + б > 10} (ложное высказывание);

5) {II + VI > VIII} (ложное высказывание);

6) {Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8} (ложное высказывание);

7) {Two plus six is eight} (истинное высказывание);

8) {Na — металл} (истинное высказывание).

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием. Если это условие не выполняется, высказывание называется сложным.

Высказывания, приведенные выше, являются простыми. Они обозначаются заглавными латинскими буквами:

А = {Аристотель — основоположник логики}.

В = {На яблонях растут бананы}.

Читать приведенные записи нужно так:

 

А есть высказывание «Аристотель — основоположник логики».

В есть высказывание «На яблонях растут бананы».

 

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики.

Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180 градусам» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным. Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0.

Таким образом, А = 1, В = 0.

 

 

Будем считать, что уже имеется некоторый запас элементарных высказываний, относительно каждого из которых известно, истинно оно или ложно. В обычной речи мы часто используем слова, называемые логическими связками, — «не», «и», «или», «следует», «влечет», «эквивалентно», «равносильно», «тогда и только тогда, когда...» и т. п.

Примеры сложных высказываний:

1) {В автобусе можно доехать до школы и почитать журнал};

2) {Число 376 четно или двузначно};

3) {Неверно, что Солнце движется вокруг Земли};

4) {Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3}.

В алгебре логики, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Рассмотрим пять основных логических операций.

1. Логическая операция конъюнкция (лат. conjunctio — «связываю»):

• в естественном языке соответствует союзам и, а, но, хотя;

• обозначение: & или Ù;

• иное название: логическое умножение.

Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Это определение распространяется и на случай п высказываний (п > 2, п —целое число). В соответствии с определением правила выполнения действий для операции конъюнкции можно представить в виде истинностной таблицы:

A B AÙB
     
     
     
     

Истина будет лишь в том случае, когда оба человека не лгут.

2. Логическая операция дизъюнкция (лат. disjunctio — «различаю»):

• в естественном языке соответствует союзу или;

• обозначение;

иное название: логическое сложение.

Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум элементарным высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Правила действия для операции дизъюнкции можно представить в виде истинностной таблицы:

A B AÚB
     
     
     
     

Выбирая между истиной и ложью, мы останавливаемся на истине.

В отличие от рассмотренной выше операции дизъюнкции можно рассмотреть строгую дизъюнкцию (двойное «или»), которой в естественном языке соответствует связка «либо..., либо...»). Суть этой операции ясна из приведенной ниже таблицы:

A B AÅB
     
     
     
     

Данная операция реализует сложение разряда двоичного числа без переноса в старший разряд.

3. Логическая операция импликация (лат. implicatio — «тесно связываю»):

• в естественном языке соответствует обороту если..., то...;

• обозначение: =>;

• иное название: логическое следование.

Импликация — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно. Таблица истинности импликации:

A B AÞB
     
     
     
     

Из лжи может следовать что угодно, даже истина, но из истины не может следовать ложь.

4. Логическая операция э квиваленция (лат. aequivalens — «равноценное»):

• в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда, в том и только в том случае;

• обозначение:Û;

• иное название: равнозначность.

Эквиваленция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Эквивалентны ли высказывания, то есть одинаковы ли значения высказываний?

Таблица истинности эквиваленции:

A B AÛB
     
     
     
     

 

5. Логическая операция инверсия (лат. inversio — «переворачиваю»):

• в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице не;

• обозначение: ;

• иное название: отрицание.

Отрицание — это логическая операция, которая каждому данному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, которое истинно, если данное высказывание ложно, и ложно, если данное высказывание истинно.

Таблица истинности инверсии:

 

A
   
   

 

Логические операции имеют следующий приоритет: действия в скобках, отрицание, Ù, v, =>,<=>.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1068; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.