Основные понятия математической статистики

Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагогических явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную характеристи­ку качественно однородной совокупности по определенному количественно­му признаку. Нельзя, например, вычислить среднюю специальность или среднюю национальность студентов вуза, так как это качест­венно разнородные явления. Зато можно и нужно определить в среднем числовую характеристику их успеваемости (средний балл), эффек­тивности методических систем и приемов и т. д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, сред­няя геометрическая, медиана, мода и другие. Наиболее распространенными являются средняя арифметическая, медиана и мода.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда между определяю­щим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зави­симость (например, при улучшении показателей работы учебной группы улучшаются показатели работы каждого ее члена).

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления сум­мы величин на их число и вычисляется по формуле:

; (1)

где Х - средняя арифметическая; X1, X2, Х3... Хn - результаты отдельных наблюдений (приемов, действий),

n - количество наблюдений (приемов, действий),

 - сумма результатов всех наблюдений (приемов, действий).

Медианой (Ме) называется мера среднего положения, характеризующая значение признака на упорядоченной (построенной по признаку возрастания или убывания) шкале, которое соответствует середине исследуемой совокупности. Медиана может быть определена для порядковых и количественных признаков. Место расположения этого значения определяется по формуле: Место медианы = (n + 1) / 2

Например. По результатам исследования установлено, что:

– на “отлично” учатся – 5 человек из участвующих в эксперименте;

– на “хорошо” учатся – 18 человек;

– на “удовлетворительно” – 22 человека;

– на “неудовлетворительно” – 6 человек.

Так как всего в эксперименте принимало участие N = 54 человека, то середина выборки равна человек. Отсюда делается вывод, что больше половины обучающихся учатся ниже оценки “хорошо”, то есть медиана больше “удовлетворительно”, но меньше “хорошо” (см. рисунок).

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений. Она соответствует классу с максимальной частотой. Этот класс называется модальным значением.

Например.

Если на вопрос анкеты: “укажите степень владения иностранным языком”, ответы распределились:

1 – владею свободно – 25

2 – владею в достаточной степени для общения – 54

3 – владею, но испытываю трудности при общении – 253

4 – понимаю с трудом – 173

5 – не владею – 28

Очевидно, что наиболее типичным значением здесь является – “владею, но испытываю трудности при общении”, которое и будет модальным. Таким образом, мода равна – 253.

Важное значение при использовании в психолого-педагогическом исследовании математических методов уделяется расчету дисперсии и среднеквадратических (стандартных) отклонений.

Дисперсия равна среднему квадрату отклонений значения варианты от среднего значения. Она выступает как одна из характеристик индивидуальных результатов разброса значений исследуемой переменной (например, оценок учащихся) вокруг среднего значения. Вычисление дисперсии осуществляется путем определения: отклонения от среднего значения; квадрата указанного отклонения; суммы квадратов отклонения и среднего значения квадрата отклонения (см. табл. 6.1)1.

Значение дисперсии используется в различных статистических расчетах, но не имеет непосредственного наблюдаемого характера. Величиной, непосредственно связанной с содержанием наблюдаемой переменной, является среднее квадратическое отклонение.

Таблица 6.1

Дата добавления: 2014-01-06