Следствие. Итак, нужно научиться находить n линейно независимых решений y1, y2, , yn уравнения (1)

L_n [ e ^{l x} ] = e ^{l x} M_n (l).

Итак, нужно научиться находить n линейно независимых решений y ₁, y ₂, …, y_n уравнения (1).

3 случая корней

1. Все корни M_n (l) различны и действительны

Þ

(линейно независимые)

2. Все корни M_n (l) различны, но среди них есть комплексные.

Комплексные решения

нас устроить не могут.

Теорема. y _компл = u + iv – решение д. у. L_n [ y ] = 0

Û u и v – его решения.

Доказательство. Следует из равенства

L_n [ y _компл] = L_n [ u ] + iL_n [ v ],

т.к. для z = x + iy верно:

z = 0 Û x = 0 Ù y = 0.

Þ

(линейно независимы).

3. Имеются кратные корни M_n (l).

Дата добавления: 2014-01-06