Математическое моделирование в оптимизации

Предмет и задачи методов оптимизации

ВВЕДЕНИЕ

Цель нашего учебного пособия состоит в изучении теоретических основ и методов решения так называемых экстремальных задач, сводящихся к максимизации или минимизации некоторых функций на множествах, определяемых некоторыми ограничениями. Необходимость решения таких задач возникает в различных областях человеческой деятельности, когда из многих возможных вариантов своего поведения или принятия решения необходимо выбрать один вариант.

Первые задачи геометрического содержания, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин, были поставлены в древности. Ещё до нашей эры в трудах Евклида, Аполлония, Архимеда встречаются вопросы о максимумах и минимумах. Потребность решать экстремальные проблемы способствовала созданию математического анализа и вариационного исчисления. В наше время в связи с запросами техники и экономики теория экстремальных задач получила существенное развитие. В 1939 году в своей книге «Математические методы организации и планирования производства» тогда ещё молодой ленинградский математик, в будущем академик, Л.В. Канторович сформулировал принципиально новый класс экстремальных задач и предложил эффективный метод их решения. Эта работа заложила основы нового направления прикладной математики. С тех пор это направление экономико-математического моделирования стремительно развивалось и привело в итоге к созданию нового математического аппарата, получившего впоследствии название линейного программирования.

Бурно развиваются новые разделы теории экстремальных задач такие, как математическое программирование, теория оптимального управления, численные методы оптимизации. Начиная с работ Охоцимского Д.Е. и Энеева Т.М. в прикладном плане и трудов Понтрягина Л.С., Болтянского В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. создаётся математическая теория оптимальных процессов.

Экстремальные проблемы очень разнообразны. Они могут быть связаны с проектированием технических устройств и технологических процессов, с распределением ограниченных ресурсов и планированием работы предприятий, наконец, с решением проблем, возникающих в повседневной жизни человека. Всевозможные устройства, процессы и ситуации, применительно к которым предстоит решать задачуоптимизации, объединяют общим названием объект оптимизации.

Оптимизация - это выбор наилучшего решения. Математическая теория оптимизации включает в себя фундаментальные результаты и численные методы, позволяющие находить наилучший вариант из множества возможных альтернатив без их полного перебора и сравнения.

Для того чтобы использовать результаты и вычислительные процедуры теории оптимизации на практике, необходимо прежде всего сформулировать рассматриваемую задачу на математическом языке, т.е. построить математическую модель объекта оптимизации. Математическая модель - это более или менее полное математическое описание исследуемого процесса или явления.

В большинстве реальных ситуаций дать исчерпывающее математическое представление оптимизируемой системы с учетом всех взаимосвязей ее частей, взаимодействий с внешним миром, всех целей ее функционирования бывает затруднительно или невозможно. Поэтому при построении математической модели необходимо, как правило, выделять и учитывать в дальнейшем только наиболее важные, существенные стороны исследуемого объекта с тем, чтобы было возможным его математическое описание, а также последующее решение поставленной математической задачи. При этом неучтенные в математической модели факторы не должны существенно влиять на окончательный результат оптимизации. Таким образом, математическое моделирование является сложной и ответственной творческой задачей, требующей от исследователя глубоких знаний в соответствующей области, практического опыта, интуиции и критического анализа получаемых результатов.

Несмотря на то, что общего рецепта построения математических моделей оптимизации не существует, можно условно разбить процесс математического моделирования на следующие основные этапы.

Дата добавления: 2014-01-06