Теоремы о представлении множества планов ЗЛП

Теорема 9.5 (теорема о представлении множества планов ЗЛП). Пусть множество планов ЗЛП - выпуклое замкнутое ограниченное множество, - совокупность всех угловых точек . В таком случае множество является выпуклой оболочкой множества , т.е.

Эта теорема позволяет представить все многообразие точек многогранника через конечное число его угловых точек. Коэффициенты определяются однозначно только в том случае, если множество имеет ровно угловых точек. Такой многогранник называется симплексом.

Пример 9.3. Симплекс в пространстве . Убедимся, что определяются однозначно для любого из (рис. 9.1).

Рис 9.1. Множество .

Любую внутреннюю точку отрезка можно представить как , . Введем следующие обозначения

,

Таким образом, существуют :, , , .

Пример 9.4. Симплекс в пространстве . Убедимся, что определяются однозначно для любого из (рис 9.4).

Рис 9.4. Множество .

Для симплекса в выше показана однозначность представления. Значит

· для имеем , , , ;

· для имеем , , , .

Объединяя, получим

.

Если обозначить , , , то

,

причем

,

т.е. однозначно нашли коэффициенты такие, что

,

для любого из .

Теорема 9.6 (теорема о представлении неограниченного многогранного множества планов ЗЛП). Пусть множество планов ЗЛП - выпуклое неограниченное замкнутое множество. Точки - все угловые точки множества , - направляющие вектора его неограниченных ребер. Тогда множество совпадает с совокупностью точек вида

Дата добавления: 2014-01-06