Следование и включение

Язык логики предикатов

Предикатные формулы обобщают понятие пропозициональной формулы,.

Предикатная сигнатура – это множество символов двух типов – объектные константы и предикатные константы – с неотрицательным целым числом, называемым арностью, назначенным каждой предикатной константе. Предикатную константу мы будем называть пропозициональной, если её арность равна 0. Пропозициональные константы являются аналогом атомов в логике высказываний. Предикатная константа унарна, если её арность равна 1, и бинарна, если её арность равна 2. Например, мы можем определить предикатную сигнатуру

{ a, P, Q }

Объявляя a объектной константой, P – унарной предикатной константой, и Q – бинарной предикатной константой.

Возьмём предикатную сигнатуру s, которая включает по крайней мере одну предикатную константу и не включает ни одного из следующих символов:

объектные переменные x, y, z, x ₁, y ₁, z ₁, x ₂, y ₂, z ₂,...,

пропозициональные связки,

квантор всеобщности " и квантор существования $,

скобки и запятая.

Алфавит логики предикатов состоит из элементов из s и четырёх групп дополнительных символов, указанных выше. Строка – это конечная последовательность символов из этого алфавита.

Терм – это объектная константа или объектная переменная. Строка называется атомарной формулой, если она является пропозициональной константой или имеет вид R (t ₁ ,..., t_n), где R – предикатная константа арности n (n > 0) и t ₁ ,..., t_n – термы. Например, если мы рассматриваем сигнатуру, то P (a) и Q (a, x) – атомарные формулы.

Множество X строк замкнуто относительно правил построения (для логики предикатов), если

· каждая атомарная формула принадлежит X,

· для любой строки F если F принадлежит X, то ¬F тоже принадлежит,

· для любых строк F, G и любой бинарной связки Д, если F и G принадлежат X, то также принадлежит (F Д G),

· для любого квантора K, любой переменной v и любой строки F если F принадлежит X, то также принадлежит Kv F.

Строка F является (предикатной) формулой, если F принадлежит всем множествам, которые замкнуты относительно правил построения.

Высказывательная форма (x) следует из высказывательной формы (x) ((x)(x)), если при всех значениях x, когда - истина, - тоже будет принимать значение истины.

Включение одного множества в другое значит, что множество истинности одного меньше или равно множеству истинности второго, т. е. .

При обязательно выполняется или

Таким образом, из тождественно ложной высказывательной формы (| x | < 0) следует любая высказывательная форма. А также тождественно истинная высказывательная форма (| x | ≥ 0) будет следовать из любой.

Пример. Дано:

(x) = < x - кратно 3>

(x) = < x - четное>

M _x = {1; 3; 5; 6; 7; 9; 11; 12}

Итого:(x)(x)

Дата добавления: 2014-01-06